幾何畫板軌跡功能在解析幾何探究性學習中的應用

楊麗萍　張廷琦

摘要 在建構主義理論的指導下，運用幾何畫板軌跡功能開展探究性學習，可以充分發揮學生的主體作用，培養學生自主學習和探索創新的能力。

關鍵詞 幾何畫板；軌跡；解析幾何；探究性學習

中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A 文章編號：1671-489X（2009）04-0096-02

探索動點的運動規律是解析幾何教學的重點、難點。由于中學生的邏輯思維能力較差，往往很難從已知條件中發現動點的相互聯系和運動規律。幾何畫板中的動畫、追蹤、軌跡等功能，彌補了傳統教學的不足，可以讓學生在動態的研究中啟發直覺思維，很多數學問題可以及時得到驗證。在建構主義理論的指導下，研究運用幾何畫板軌跡功能開展探究性學習，設計相應的課件并進行應用。

1 運用幾何畫板開展探究性學習的理論基礎

建構主義認為：“知識不是被動吸收的，而是由認知主體主動建構的。”這個觀點從教學的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的，而是學生在一定的情境中，運用已有的學習經驗，并通過與他人（在教師指導和學習伙伴的幫助下）協作，主動建構而獲得的，建構主義教學模式強調以學生為中心，視學生為認知的主體，教師只對學生的意義建構起幫助和促進作用[1]。

從建構主義出發，數學不是獨立的、絕對可靠的、天衣無縫的真理，它是一種經驗或擬經驗的活動。數學發展的歷史表明，每一個重要的數學概念的形成和發展，其中都有豐富的經歷。數學研究和數學學習是一個思想實驗或“準實驗”，要在投入者的親身實踐和體驗的過程中進行設計。學生的思維不一定真實地重演了人類對軌跡探索的全過程，但確確實實通過實驗、觀察、比較、分析、歸納、抽象、概括等思維活動，在探索中學習數學，可以培養學生學習數學的興趣。

2 運用幾何畫板開展探究性學習的優勢

幾何畫板不同于其他繪圖工具的突出特點，在于幾何圖形在運動時能動態保持幾何關系，在圖形變化的過程中，發現恒定不變的幾何規律[2]。運用幾何畫板可以把概念的形成過程暴露出來，隨時看到各種情形下的數量關系的變化或不變。它可以把“形”和“數”的潛在關系及其變化動態地顯現在屏幕上，而且這個過程可以根據需要進行控制。幾何畫板是進行探索、驗證的好幫手，是創設“情景”的極好工具。運用幾何畫板開展探究性學習有4個方面的優勢。

2.1 容易激發學生提出問題通過研究、探索不斷產生新的問題，已解決的問題又成為新問題的起點，從而引發在更深層次的層面進行研究、發現、解決問題，最終達到數學問題的徹底解決。

2.2 使學生真正成為學習的主人學生能夠通過對數學知識的學習，理解幾何畫板的運用，從中不斷進行猜想、論證并得出結論，從而不斷增強研究數學的積極態度。教師的角色也由課堂教學的主宰轉變為教學活動的組織者、指導者、參與者和研究者。

2.3 使問題的開放性增強運用幾何畫板有效地拓展了學生學習的空間，培養了學生研究的興趣、解決問題的欲望及發現問題和解決問題的能力。運用幾何畫板開展探究性學習有兩個顯著的特征：1）“活”，表現為學生的學習積極性、主動性有明顯的增強。學生往往會迸發出智慧的火花；2）“動”，表現為讓學生真正的動手操作、觀察、研究、思考。

2.4 提供豐富的變換功能包括平移、旋轉、縮放、鏡像等圖形變換功能。幾何畫板還能對動態圖形進行“跟蹤”，并能顯示跟蹤的“軌跡”，幫助學生充分理解圖形變換的規律，為平面解析幾何中的軌跡教學提供很好的工具。可以把幾何畫板看成是一塊“動態的黑板”。幾何畫板的這種特性有助于學生在圖形變化中把握不變的幾何規律，深入幾何的精髓。這是其它教學手段所做不到的，真正體現了計算機的優勢[3]。

3 運用幾何畫板軌跡功能開展探究性學習的實驗

運用幾何畫板開展探究性學習要遵循“問題—研究—交流—反思”的認知規律。運用幾何畫板開展探究性學習主要有教師引導式、學生自主研究式、小組合作研究式等具體模式。

數學學習不應是一個被動吸收知識、記憶、反復練習強化的過程。一個有意義的學習過程，是學生以一種積極的心態，調動原有的知識和經驗，嘗試解決問題，同化新知識并建構新的認知結構的過程。所有的新知識只有通過學生再創造的活動，使其納入原有的認知結構中，才可能成為有效的知識。只有這樣，學生獲得的才是真正的數學經驗，而不僅僅是一些抽象的數學結論。幾何畫板提供了一個十分理想的“做數學”的環境，完全可以運用它來做數學實驗。下面以一道人人皆知的解析幾何題為例，研究如何運用幾何畫板的軌跡功能開展探究性學習。

B是半徑為r的定圓A內的一定點，M是圓上的一動點，過線段BM的中點E作BM的垂線與半徑交點為P，求P的軌跡。

如圖1所示，P的軌跡顯然是一個橢圓，這是因為 。

實驗1 放棄“E是線段BM的中點”這一條件，奇妙的現象出現了：當E到M的距離小于點E到B的距離時，點P的軌跡是“鴨蛋”形（圖2）。

實驗2 用鼠標緩緩拖動點E向B移動，當E到M的距離大于點E到B的距離時，點P的軌跡成了“導彈”形（圖3）。

實驗3 繼續下去，把線段BM換成直線，使點E在MB的延長線上，點P的軌跡變成了“腎臟形”（圖4）[4]。

4 結束語

運用幾何畫板開展探究性學習，其著眼點就是改變學生的學習方式，即改變學生在應試教育模式下所形成的偏重記憶、模仿，以接受教師的知識灌輸為主的單一的學習方式，創設一種有助于探究性學習的情景和途徑，建構一種有利于學生終身發展的學習模式。但由于幾何畫板軟件比較靈活、具有開放性，學生往往會沉迷于對幾何畫板的研究，而忽略對數學問題的研究、解決。教師應告訴學生幾何畫板只是一種輔助學習的工具，對數學問題的研究、解決才是學習的核心任務，千萬不要舍本逐末。

參考文獻

[1]何克抗.教學系統設計[M].北京:北京師范大學出版社,2002

[2]方其桂.幾何畫板4：課件制作方法與技巧[M].北京:人民郵電出版社,2004

[3]屈清明,季久峰.幾何畫板數學課件制作范例教程[M].北京:人民郵電出版社,2004

[4]陶維林.用幾何畫板教平面解析幾何[M].北京:清華大學出版社,2005