縱橫貫通 構建系統的知識體系

嚴政建

不久前,筆者在區課堂教學觀摩活動中執教了《平行與垂直》一課,在體驗“平行與垂直”這一知識點時,充分關注了學生對知識系統的過程體驗以及知識點之間的縱橫聯系,并作了一些嘗試讓教學目標很好地落到了實處。回顧一下教學片段:

片段一:

1.初步感知兩條線的位置關系

師:過這兩個點你能畫出一條直線嗎?

師:在這條直線外有一個點。你能過這個點畫一條直線和直線a相交嗎?誰聽懂老師的要求了?

·

生:……

師:你們覺得相交是什么意思?

生1:相交就是一個橫的,一個斜的。

生2:相交就是兩條線會碰在一起。

師:請你試著過這個點畫一條直線與直線a相交。

生試著畫一畫。

師:我也畫了一條,是這樣嗎?(課件演示),像這樣的直線你還能畫嗎?

生動手畫一畫。

師:(出示學生作品)來看這位同學畫的真不少,你覺得能畫幾條?

生:無數條。

師:老師也畫了幾條(出示課件),你覺得哪一條比較特殊?

生:中間哪條最特殊,因為中間這條與直線a成直角。

師:像這種特殊情況:兩條直線相交成直角,就說它們互相垂直,形成的這個交點叫垂足。(板書)

師:剛才老師叫你們畫的是相交的直線,現在你能不能畫一條經過這個點和直線a不相交的直線?想一想能畫幾條?

生動手畫。

反饋:

師:你們認為這些直線是互不相交嗎?

生:圖(1)(2)兩條直線可以無限延長,延長后會相交,所以不是不相交直線。

師:演示,延長相交過程。

生:圖(3)那條直線好像也會相交。

生:我認為圖(3)是不相交的……

師:想象一下和直線a不相交的這條線會是怎樣?

生1:不碰到。

生2:兩條直線的方向一樣。

生3:兩條直線間的高度是一樣的。

師:什么意思?

生3:就是兩條直線都往同一個方向,上下高度相等,這樣就不會相交了。

師:是這樣嗎?(出示課件),像這樣的過這個點與直線a不相交的直線還能畫嗎?

生:不能,只有一條。

師:像這樣兩條不相交的直線,叫做平行線,稱為互相平行。(板書)

片段二:

2.進一步理解平行和相交

師:通過剛才的研究,你覺得兩條直線互相平行是什么樣子的?你能用手來比劃一下嗎?

生:用手勢比劃

師:真不錯,那如果我把其中一條直線的方向變一變這兩條直線的位置關系又會怎樣呢?

生1:就垂直了。

生2:不一定,要相交成直角時才會垂直。

生3:一定是相交的,如果兩條直線相交成90度就會垂直。

師:看來你們對平行、相交已經有所了解,兩條直線的關系與兩直線的角度有關。(出示課件):

師:通過剛才的演示,我們進一步了解到重合、平行和相交就是兩條直線的三種特殊的位置關系。

片段三:

3.感知“同一平面”

師:這是一個正方體,老師在正方體兩個面上畫了兩條直線,請你判斷一下,他們平行嗎?

生:它們的方向不一樣,不是平行線。

生:不平行,一條是前后兩端延長,一條是上下兩端延長,不會相交所以不平行。

……

師:既然這兩條直線不相交,為什么不是互相平行?

生:因為它們一條在前面,一條在后面。

生:因為它們在兩個面上。

師:因此,在判斷兩條直線是否平行時,我們還要注意兩條直線是否在一個面上。(板書:同一平面)

師:那你認為這兩條直線平行嗎?(課件演示)

生:不平行,因為它們不在同一平面內。

師:那這兩條呢?

生:不平行,這兩條直線不在同一平面內。

生:平行的,它們方向一樣的,不會相交。

生:……

師:其實這兩條直線是在同一平面內的,它們是平行的。為什么會在同一平面內呢?(課件演示)

生:部分學生恍然大悟。

……

分析與思考:

《平行與垂直》是一節比較典型的教學課例,在上課之前收集了許多課例,其設計分為兩類,其一是:請學生在紙上任意畫兩條直線,在小組內交流進行分類,在分類中逐步歸納出平行和垂直的概念。其二是先出示主題圖,從中找出平行與垂直的直線,抽象到課件上,讓學生觀察、歸納它們的相同和不同之處,揭示平行與垂直的概念。這是傳統課堂上的從現實情境中抽象出數學原型,再根據學生已有的生活經驗和認知起點展開教學,這是值得我們借鑒和繼承的。但是這些成功的范例中,設計者對“平行”與“相交”兩者的位置關系只是處于靜態展示,沒有作橫向溝通及動態化的處理,整個知識體系梳理不夠到位。在對深入理解教材體系,正確把握平行、相交(垂直)變化的脈絡后,本教學在合理整合教材的基礎上,讓學生在梳理已學的知識體系的同時體驗兩直線位置關系和變化的動態化過程,使其真正感悟到知識的變化和聯系。

1.縱向連串,鏈接知識鏈。數學知識有著嚴密的邏輯結構,不論是幾何知識還是代數知識,其縱向發展都是一條有機的知識鏈,這樣促進學生自主建構自己的知識網絡,使學生學習由外在要求驅動向內需性發展過渡。如整個教學環節從點——線——面層層遞進的一個揭示過程,形成了一條有機的知識鏈,讓學生突破了從二維空間到三維空間觀念轉變的困難,得到整體建構。

2.橫向貫通,形成知識面。有些數學知識非常相似,彼此之間有著緊密的聯系,但又不盡相同,對這些知識既要縱向連線,橫向貫通,比較相同或相近的地方,也要比較出不同的地方,從而形成更高層次的知識結構。這節課中平行與垂直既有相同點又有不同點,將兩個有相同點又有不同點的知識形成一個知識面是關鍵。片段一兩點畫一直線——過直線外一點畫直線——片段二中動態演示“兩條直線位置與兩直線所成的角度”的關系,其目的一是讓學生對已有知識進行回顧,二是讓學生感悟到(相交)垂直與平行的聯系,形成一體系的知識面(讓學生知道相交與平行就是因兩直線所成角的大小變化而得來)。學生在這樣分析梳理的過程中,站在整體的高度去審視知識點,這樣認知結構有了一個新的認識、新的調整和新的提升。

3.縱橫交錯,組建知識體。知識除了要“豎連線,橫連片”之外,更重要的是要將所學知識組成一個大系統——搭建知識體系。如整節課:

這樣,通過串點、連線、組片、織網,使知識活化,把握總體目標,讓學生在動態演示過程中體會數學知識的變與不變的辯證思想和知識體系的結構美和動態美。