引導學生探究教材 培養數學思維品質

[摘 要] 在國際金融危機的大背景下，創新作用更加凸顯。結合數學教學的實際，以教材為載體培養學生創新思維能力;廣闊性思維是培養創新思維的翅膀，發散性思維是訓練創新思維的重要途徑，批判性思維是思維創新的基礎，獨創性是創新思維的靈魂。

[關鍵詞 ] 數學課堂教學 數學教材 創新思維

創新思維是人類思維的高級形式，是依據研究對象所提供的各種信息，打破認識常規，尋求變異，想出新方法，從多方面尋求答案的開放思維方式，是一切創造性活動的基礎和核心。數學課堂教學是培養學生創新思維的主陣地，如何充分借用教材成為學生借以培養創新思維之源，讓它散發自身所特有的光輝魅力，有待于教師對教材中問題的挖掘與再創造，有待于學生對教材中問題的探索與再發現。現筆者結合教學實踐經驗就如何利用教材培養學生創新思維，談一些自己的做法。

一、對數學公式、法則、性質等分析探究，培養學生的思維廣闊性

思維的廣闊性指思維發揮作用的廣闊程度，在思考問題時善于類比、聯想，會多方面、多角度地周密思考，善于溝通問題與問題之間的縱橫聯系和演變能力，是培養創新思維的翅膀。

案例一:新課程浙教版七(下)5.4乘法公式(1)P115-116研究了平方差公式，其結論為:兩數和與這兩數差的積等于這兩數的平方差，即(a+b)(a-b)=a2-b2。在教學中引導學生進行如下探究:

1.練習:

①(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq; ②(a+2)(a-2)=a2-4;③(3-x)(3+x)= 9-x2 ;④(2m+n)(2m-n)=4m2-n2。

2.探究問題，類比、歸納結論。

問題1:引導觀察①與②③④小題等式左邊均為兩個二項式相乘，而乘法運算的結果項數有何不同?

問題2:那么具備什么樣特征時積才會是二項式呢?觀察②③④小題，等式左邊有哪些特點?

問題3:它們的積結果有什么特征?觀察②③④小題，等式右邊有哪些特點?

問題4:假如我們用a、b來表示這兩個數，你能用這兩個字母表達出剛才我們所說的等式嗎?

這個案例由一般的兩個二項式的積，與較特殊的兩個二項式的積進行比較，發現它們的積的項數不同，從而引發思考，提出新問題，歸納出關鍵所在是二項式的特征不同，再利用特殊到一般的方法得出平方差公式。

3.數形聯想，再次探究。

問題5:你能利用以下三類圖形A、B、C，根據圖形的面積關系直觀說明平方差公式嗎?

分步探究:

(1)從公式的右邊聯想，應構造一個邊長為a的正方形，從中剪去一個邊長為b的正方形，利用圖形A、B、C能拼成一個正方形(圖(1))嗎?面積如何表示?

(2)從公式的左邊聯想，應構造一個長、寬分別為a+b，a-b的長方形，那么利用圖形A、B能拼成一個長方形(圖(2))嗎?面積如何表示?

(3)結合(1)(2)中的拼圖產生的面積的關系判斷(a+b)(a-b)，a2，b2之間的數量關系?

(4)能否將圖甲變為圖形乙?如何變換?這過程中兩個圖形面積有何關系?

圖(1) 圖(2)

根據這幾個問題的探究，把平方差公式中等號兩邊的整式特點聯想到正方形與長方形的面積，從圖形與面積之間關系進行聯想驗證平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2 。利用數形的聯想，從不同角度多方位認識平方差公式， 這樣才能使學生的思維呈輻射狀展開，從而開闊視野。

二、對例題進行深入探究，培養發散性思維

發散思維是對問題從不同角度進行探索，從不同層面進行分析，多方面尋求多樣性答案的一種展開性思維，是訓練創新思維的重要途徑。培養學生的發散思維，一定要吃透問題，把握問題實質，打破思維的定式，改變單一的思維方式，盡量地拓展思路。

案例二:新課程浙教版七(下)P12《1.3三角形的高》。

如圖(3)，在△ABC中， AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線。已知∠BAC=82°，∠C=40°。求∠DAE的大小。

解法一:∵AE是△ABC的角平分線，且∠BAC=82°，

∴∠BAE=∠EAC=41°。

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADC=90°。

∵∠ADC+∠DAC+∠C=180°，

∴∠DAC=50°，

∴∠DAE =∠DAC-∠EAC = 50°-41°=9°。

探究:本例還有其他解法嗎?

解法二: ∵AE是△ABC的角平分線，且∠BAC=82°，

∴∠BAE=∠EAC=41°。

在△AEC中，利用三內角和與△AEC外角性質得

∠DAE =∠AEC-∠ADC=99°-90°= 9°。

同一問題有多種不同的解法，學生在思考問題時就能從多方向、多角度、多手段、多途徑入手，在常規解法基礎上就會盡可能多地提出自己新穎的見解，對知識的理解更全面，更透徹。

三、對教材課后練習進行變式訓練，培養學生的批判性思維

思維的批判性是指思考問題時不受別人暗示的影響，能嚴格而客觀地評價和檢查思維的結果，冷靜地分析結果利弊是非，有主見地評價事物的思維品質，是思維創新的基礎。在教學中，教師要積極地培養學生善于鑒別問題的可能性，注意引導學生不拘一格地活躍思路，鼓勵他們對問題進行獨立推測、猜想，認真檢驗自己提出的假設。

案例三:浙教版八下課本第147頁作業題第3題。

如圖(4)，分別以△ABC的邊AB、AC為一邊向外作正方形AEDB和正方形ACFG，連結CE、BG。求證:BG=CE。

猜想:若將條件正方形AEDB和正方形ACFG 改變，結論是否依然成立呢?

變式檢驗:分別以△ABC的邊AB、AC為一邊向外作正三角形ABD和正三角形ACE，連結CD、BE。求證:BE=DC。

再提猜想:分別以△ABC的邊AB、AC為一邊向外作正五邊形呢?……分別以△ABC的邊AB、AC為一邊向外作正n邊形呢?能否得出類似結論?

本題通過對條件的質疑，利用猜想把原題進行變式訓練，把向外作正方形改為正n邊形，但本質還是運用三角形的全等知識解決，萬變不離其宗，設計目的是通過辨析，揭示問題的實質，訓練學生對知識的靈活運用，使知識進一步理解和內化，培養學生質疑與契而不舍的學習精神，從而有利于提高思維的批判性。

四、利用閱讀與材料拓展延申，發展學生的獨創性思維

獨創性是創新思維的靈魂，指思維活動的方式不僅善于求同，更善于求異。這種創造性思維的特點，表現在概念的掌握與理解之上，將新知識、新概念同化到已有的概念和知識系統中去，還能利用新知識、新概念去改造舊概念;憑借已有的知識和技能去探索未知的新知識、新技能，甚至創造新事物。

案例四:新課程浙教版七(下)P131的“閱讀材料”中介紹了著名的“楊輝三角”和兩數和的乘方，并指出兩數和的乘方計算結果中多項式各項系數(簡稱系數表)中隱含很多有趣的排列規律。可以以此引導學生對“楊輝三角”做進一步的探究。

問題一:根據它的系數表的規律，你能說出(a+b)6計算結果中多項式有幾項?(a+b)n 呢?

問題二:根據它的系數表的規律，計算結果中多項式各項系數和有何規律?你能用n的代數式表示嗎?

問題三:取兩數差的乘方(a-b)n，制作計算結果中多項式各項系數表，并探究各項系數符號有何規律，各項系數和為多少。

以上問題可以由學生以學習小組形式，通過實驗討論、猜想、歸納規律，整理探究結果:

(1)(a+b)6計算結果中多項式有7項，(a+b)n有n+1項。

(2)(a+b)n計算結果中多項式各項系數和為2n。

(3)把(a-b)n看做[a+(-b)]n得系數表如圖(5):

發現計算結果中多項式各項系數符號規律，即:

當項位于偶數位置時符號為負，項位于奇數位置時符號為正，其系數絕對值呈對稱性相等，故各項系數和為0。

這種問題一般都以問題串的形式出現，思維水平由低到高，讓學生綜合思考、建構數學模型，找到解決問題的新思路、新方法，從而發現數學問題的一般規律，有利于學生創造性思維的培養與發展。

在新課程理念下，教師不是“教教材”而是“用教材教”，通過對教材的內涵的挖掘，不僅使教材更加豐滿、生動，更具新意，還能在知識的發生、發展與運用過程中，培養學生的問題意識、合作意識、責任意識，以及學生的思維能力、創新精神。讓教材作為培養創新思維能力的搖籃，讓創新在數學課堂中成長，讓數學在創新中神采飛揚。

參考文獻

[1]黃新民.初中數學課堂創新教學理論與實踐[M].杭州:浙江大學出版社.

[2]周李寅.深化例、習題教學提高教學的有效性[J]，中國數學教育，2009(4).

[3]林明成.論數學教學中創新思維能力的培養[J].數學教學通訊，2009(2).

[4]范良火.浙教版教材數學教材[M].杭州:浙江教育出版社.