高等數學分級教學的理論分析與改革新思路

作者簡介：歐春霞（1962），女，漢族，講師，碩士；主要研究方向：應用統計分析，數據挖掘和數學教學研究。

摘 要： 討論了廣東工業大學實行高等數學分級教學的改革舉措5年來的教學改革實踐，文章運用分布形態、位置參數、尺度參數以及相關性的比較的分析方法，對該校5年來的分級教學班成績數據進行了理論分析，指出分級教學中存在的問題，并提出了進一步改革的思路。

關鍵詞： 高等數學 分級教學 理論分析 教學改革

中圖分類號：G 642.41文獻標識碼：A文章編號：1671623X(2009)03003504

一、 引言

根據英國哲學家杰里米?本瑟姆(Jeremy Bentham)的效用概念提出的分級教學做法，［1］已被眾多高等院校應用在高等數學、大學英語等公共基礎課的教學中。所謂分級教學，就是根據學生的個體差異，按照能力水平的高低將學生群體劃分成不同的級別或層次，有針對性地進行分班教學。分級教學體現了因材施教、分層優化、整體推進的教學原則。有效的分級教學，能使教師節約精力、突出重點、積累經驗，能讓學生在各自的“最近發展區”得到充分的自由的發展，謀求各個層次的學生都能獲得成功的體驗，使學生的素質得到全面提高。［1］

廣東工業大學高等數學分級教學自2003年實行以來已有5個年頭，其分級方法、教學方式、檢測手段等教學環節逐漸形成固定模式。然而，對這種分級教學效果的分析和總結，僅停留在考察學生總體對測試內容的掌握上，如每題的得分情況、及格率等。即便是有些統計指標如平均分、方差等，也只是停留在“統計”的層面上，而對這些統計數字所反映出的由分級產生的教學效果鮮有分析與研究。本文依據學生的成績數據運用統計分析方法，對不同級別的教學效果進行分析與比較，進而分析列舉了現有分級教學中的一些問題，提出了改進措施與對策思考。

我校的高等數學分級教學，其分級方法主要是根據新生入學時的高考數學成績由高到低、分段截取形成分級教學班。這樣的順序分級方法簡單，易于操作，也從一定程度上分出了數學基礎的層次。［2］

高等數學分級教學持續兩個學期，分別稱之為高等數學Ⅰ和高等數學Ⅱ（簡稱為高數Ⅰ和高數Ⅱ）。其間班級成員不變，教學使用統一的教學大綱、統一的教材和統一的授課計劃，考核采用統一的考試方式和統一的成績評定標準。這些統一的要求，從一定程度上體現了公平與公正。

二、 高等數學分級教學效果的統計分析與比較

本文統計分析所用樣本的取樣方法是：在我校2007級進行高等數學分級教學的9個學院中隨機抽取了其中一個學院，并選取了該學院3個不同層次的分級教學班，這3個班級分別是按入學的高考成績由高到低劃分的A、B、C班，數據樣本即為入學時的高考數學成績、入學后的高數Ⅰ和高數Ⅱ成績，統計分析所用軟件為MATLAB7.1。

1. 分級方法的分析

A、B、C三個班的高考數學均為標準分，其中A班分數段為717~661，B班分數段為653~584，C班分數段為579~494。對三個班的成績作正態分布檢驗，其樣本分布如圖1-3所示。由圖可見，三個樣本分布均不在一條直線上，可以說三個樣本都是非正態分布。事實上，在0.05的顯著性水平下，三個樣本的JarqueBera正態分布檢驗，［3］概率值分別為0，0.0078和7.1330e-006，即都沒能通過檢驗。這樣，我們采用非參數統計的方法，［4］選擇中位數作為樣本平均水平的度量。計算可得三個樣本的中位數分別為676，619和561.5。直觀可見三個樣本的平均水平是有明顯差異的。即是說，按入學前的高考成績由高到低劃分的分級教學班從一定程度上是分出了差異的。

圖1 A班正態檢驗樣本分布圖

圖2 B班正態檢驗樣本分布圖

圖3 C班正態檢驗樣本分布圖

合理的分級標準應是可以讓“級”的差異相對保持的。我們用秩相關分析來考察上述分級標準的合理性。秩相關性是反映二維數據的兩個分量其排列的同步性的。反映秩相關性的統計量是秩相關系數r（|r|≤1），其數值越大，相關程度越高，即同步性越強，r=1時，兩個分量數據排列完全同步。把總體高數Ⅰ、高數Ⅱ的成績進行排列求秩，分別計算它們與入學分班時高考數學成績的秩相關系數，可得其Spearman秩相關系數［5］分別為0.2936和0.2969，類似可得高數Ⅰ、高數Ⅱ的秩相關系數為0.3280。可見這幾個相關系數并不大，即從總體上看，入學時的高考數學成績與入學后的高數學習，以及入學后前后兩學期的數學學習并未保持很好的同步性。

2. 入學后成績分布的偏態性分析

正態分布和偏態分布都是數據分布的形態。與正態分布不同，偏態分布是一種不對稱分布，它有左偏態和右偏態兩種情形。若成績分布呈現為右偏態，說明學生整體成績分布偏向高分端，否則相反。對學生高等數學的考核是合格水平的測驗，也即是一種成就測試。成功的教學應使得成績分布呈現為右偏態分布。對學生總體高數Ⅰ和高數Ⅱ成績數據作統計直方圖1-2，可見兩圖形的左側尾部均拉得很長，即有很小的異常值存在，使得它們均呈現為左偏態分布。這種不盡人意的結果，一方面可解釋為有少數學生學習較差，成績遠遠落后于班級群體；另一方面不由得使人對測試內容（如難易程度）、測試方法（如統考的做法）等方面進行反思和質疑。

圖4 高數Ⅰ統計直方圖

圖5 高數Ⅱ統計直方圖

所幸我們看到，高數Ⅱ的情形有所改善。事實上，經計算得到：高數Ⅰ和高數Ⅱ的偏度系數分別為-0.6090和-0.5218。高數Ⅱ的偏度數值較小，說明“偏”程度較小。

3. 分級班之間教學效果的比較

由于高數Ⅰ與高數Ⅱ的考試內容不同，兩學期的原始成績可比性差，因此將這兩組成績數據作標準化處理，以增加可比性。采用的標準化公式為Z=[X′-min(X)]/R，其中X和R為別原始數據和相應的極差。由于采用的是線性標準化方法，標準化后的樣本與原樣本有相同的分布形態。以下所進行的統計分析均使用處理后的標準化數據。

用T1以及A1、B1、C1分別表示總體以及三個分級班入學后的高數Ⅰ成績；用T2以及A2、B2、C2分別表示總體以及三個分級班入學后的高數Ⅱ成績。與上述討論類似，采用Jarque-Bera正態分布檢驗，在0.05的顯著性水平下，對上述樣本進行正態檢驗。檢驗結果除A2外其余總體均不服從正態分布。因此，我們仍采用非參數統計的方法，用樣本中位數和樣本標準差S來作為相應總體的位置參數和尺度參數。統計計算結果列于表1-2。

表中△M_e為上一行M_e值與其總體的差，它反映出各班與總體水平的差異。

為直觀起見，用表內統計分析數據繪制成圖6-7，其圖6中的實線和虛線分別是用T1和T2的M_e與S作成的正態分布圖，以比較兩個總體的位置與尺度的變化；圖7中的“*——”圖和“o——”圖分別是用A1、B1、C1和A2、B2、C2兩組數據的值作成的折線圖，以比較三個班兩學期平均水平的變化。

統計分析圖6顯示，從總體上看，第二學期較第一學期：中位數增大而標準差減小，說明平均水平在提高而總體差異在減少，程度趨于整齊。統計分析圖7顯示，代表著中等程度的B班，其平均水平的增長尤為顯著。大眾化教育背景下的高等教育，實現中間層次水平的上移，也反映了高等教育整體水平的提高。

圖6 T1正態分布圖

圖7 T2正態分布圖

4. 分級班內教學效果的比較

仍然采用2．1中提到的秩相關分析來考察各級別班內前后兩學期的學習水平的同步性。A、B、C三個班的高數Ⅰ與高數Ⅱ成績，其Spearman秩相關系數［6］分別為0.5711； 0.6321； 0.6499，在0.05的顯著性水平下都通過了Spearman相關性檢驗，即認為三個班學生成績在一定程度上保持了同步增長。結合學生人數考慮，以入學程度最好的A班的秩相關性最弱，因此再將A班細分加以分析：以A班高數Ⅰ的成績為依據，按25%分位點、75%分位點把數據分成前、中、后（即成績為差、中、好）三部分，再考察各部分前后兩學期的同步性。三部分的秩相關系數分別為0.0847， 0.2040和0.2778。相關性檢驗表明，在“高級別”的A班中，“差”和“好”兩部分的秩相關性不強，即認為這部分學生前后兩學期的成績變化較大，顯然，“差”學生在后期的學習中有所進步，而“好”學生則有所退步。這種向中間水平“回歸”的現象表明，分級教學有助于學生挖掘自身潛力，增強競爭意識。尤其是對“差”學生而言，有壓力，也產生了動力，但“好”學生的退步應值得我們警惕。分級教學的目的是因材施教，在實現整體水平提高的同時，還要塑造和培養精英人才。

三、 高等數學分級教學存在的問題和對策

對高等數學的分級教學進行統計分析，其結果為評價分級教學效果、改進分級方法、進一步提高教學質量，提供了重要的科學依據。統計結果顯示，分級教學提高了整體教學水平，激發了學生的競爭意識，增強了自信心。對現有分級教學的分析，也使我們看到或注意到了一些問題。對此，本人將有關問題分析列舉如下，并提出改進方法與對策思考。

問題1:對分級方法的統計分析表明，現有的分級方法，即僅按入學時的高考數學成績分級是不全面的。學生的數學學習潛能受眾多因素的影響，如相關學科的掌握、學習態度等，況且高考成績難免帶有地域性及偶然性。解決的方法與對策：入學后可再進行有針對性的分級考試，同時調查學生個人的意愿，把眾多因素結合起來考慮，給出一個較為合理的分級標準。此外，可以實行動態的分級管理制度，即可在一學期后調整級別，優秀的晉級，落后的降級，這樣也有助于激勵學生努力學習積極上進。

問題2:對分級班級之間教學效果的比較，我們明顯感覺到一個不祥訊號：分級教學并未使各個級別的學生都能獲得成功的體驗，實際上高、低兩級的學生都有不同程度的下降。這個尷尬的局面，我們不得不重新審視現有的分級教學各個環節。事實上，不同級別的教學班級均使用統一的教學大綱、統一的教材和統一的授課計劃，甚至是統一的教學手段，這些“統一”何以體現出因材施教、分層優化的教學原則，它無異于非分級的傳統教學模式，實現整體推進的改革效果也就難以達到了。解決的方法與對策：實現真正意義上的分級，包括：第一，教學要求教學目標的分級，即在達到基本要求和基本目標的基礎上，做到高級高要求高目標即所謂發展目標，有意思地培養高素質人才，為他們進一步深造和發展奠定基礎；第二，教學方法的分級。即教師要精心設計因人而異的教學方法，要根據“層”的特點設計和組織教學，其中包括作業和訓練的設計；第三，教學內容的分級。可設計不同的模塊，如設計為基礎模塊、發展模塊和提高模塊。在“低級”的模塊中可補充部分中學的基礎知識，在“高級”的模塊中可增加建模和考研的內容；第四，考、評的分級。不同的教學目標、不同的教學內容和方式，若用同一種考評方式，顯然是不合理的。要具體問題具體分析，根據教學要求和學生實際，制定客觀科學的考核評價體系，這也是進一步進行分級教學實踐的關鍵。

問題3：影響分級教學效果的另一重要因素是師資配置問題。不同分級班隨機配備師資的作法不可取，而“高級”班配“高級”教師的做法也未必合理。合理的師資配置，是對教師有一個正確的安排，既要鼓勵教學經驗豐富的教師到最需要他們的教學班任教，又要充分尊重教師本人的意愿，為教師創造出自由發揮的空間。熱情和信心將使得教師努力工作、主動適應教學需要。此外，由于分級教學中“級”差的存在，以學生成績高低定教師工作績效的評估方法將直接影響教師的工作熱情和教學效果。合理的評價體系和激勵機制體現了以人為本的人文精神，也是構建和諧社會的具體表現。

參考文獻

［1］姚翔飛．工科高等數學分級教學模式的探討［J］．高教論壇，2008(3)：85-87 

［2］［3］謝國瑞．概率論與數理統計［M］．北京：高等教育出版社，2002.223-229

［4］［6］歐春霞．“高等數學”分級教學效果的非參數統計分析與評價［J］．廣東工業大學學報（社會科學版），2007，7(2)：17-18

［5］王 星．非參數統計［M］．北京：中國人民大學出版社，2005.186-190

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A Theoretical Analysis of and New Ideas for Graded Teaching of Advanced Mathematics

OU Chunxia

(School of Applied Mathematics， Guangdong University of Technology， Guangzhou， Guangdong 510006， P.R.China)

Abstract: The graded teaching of Advanced Mathematics has lasted for 5 years in Guangdong University of Technology. This paper makes theoretical analyses of the performance data from the graded teaching classes by applying such methods as distribution forms， location parameters， scale parameters， as well as the comparison of correlation. Then it points out the existing problems and presents some new ideas for further reform.

Key words: Advanced Mathematics; graded teaching; ethical analysis; teaching reform

(文字編輯、責任校對：鄒 紅)