數學直覺思維能力培養研究

一、數學直覺思維的意義

思維是人腦對客觀事物的本質及其內在規律性聯系概括和間接的反映。數學思維是人腦和數學對象交互作用，并按照一般的思維規律認識數學本質和規律的理性活動。直覺思維是人們在面臨新的問題、新的事物和新的現象時能迅速理解并做出判斷的思維活動。數學直覺思維是人腦對于某種數學對象突然出現的新問題和新現象，能迅速理解并作出判斷的思維方式。數學直覺思維簡稱為直覺思維或直覺。

二、數學直覺思維的作用

數學直覺思維是人腦的機能。20世紀60年代因腦科學研究而獲得諾貝爾獎的美國科學家斯佩證實了左右腦功能的差異：左腦具有語言的、分析的、邏輯推理的功能，而右腦具有形象性、非邏輯性“縱觀全局”的本領，它的觸角可以伸展到意想不到的角落，處理尚未用語言符號正式表達的問題。雖然目前人們對直覺思維的生理機制尚了解不多，但是腦科學的最新研究結果已初步表明，左腦以連續性方式思維，采取的是一次分析一個特征的策略，而右腦則以并行性方式思維，采取的是同時進行整體分析的策略，這就是為什么直覺無需推理就能直接地對事物及其關系作出迅速的識別和理解的原因所在。

直覺思維可以幫助學生分析數學現象、發現數學問題、猜想數學命題、理解數學知識、探究解題思路、培育數學靈感等。直覺思維是數學思維活動中最活躍、最積極、最具有創造性的成分，直覺思維是數學創造的法寶。偉大的數學家往往都有著非凡的數學直覺。笛卡爾受一只蜘蛛在墻壁忽上忽下、忽左忽右的爬行的啟發發明了解析幾何，正是對數學的直覺感悟；萊布尼茲對數學形式的超人直覺，使他和牛頓一起成為微積分的奠基人。……很難想象，一個對數學沒有任何直覺與合情推理能力的人可以成為一名數學家或者能學好數學。

三、數學直覺思維能力的培養

布魯納說“學校的任務就是引導學生‘掌握直覺這種天賦’”。著名數學家徐利治教授說：“數學直覺是可以后天培養的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的。”數學直覺是可以通過訓練提高的。數學直覺思維能力可以從知識經驗、整體思考、數學直觀、類比聯想、創造想象、合情猜想、數學思想、數學審美等方面來培養。

1．知識經驗是直覺思維的基礎

學生的知識經驗是外在知識內化與內在經驗激活所生成的內部語言。數學直覺是一種心智活動，是以已有的知識經驗為基礎，不須邏輯推理，對事物本質的直接洞察、迅速判斷或整體把握。直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是以扎實的知識為基礎。因此，培養學生的直覺思維能力必須完善和優化學生的數學認知結構。首先是夯實基礎知識，對基本概念力求準確理解，對公式定理應弄清其背景、條件、結論及其證明，對基本概念、公理、公式、定理、性質、例題等知識的應用要有適度的訓練，并做到學思結合，舉一反三，學生應學會在做中學、讀中學、探中學、講中學，在此基礎上，學生就能內化數學概念、活用數學方法、體會數學思想、優化認知結構、豐富知識經驗。其次是需要構建良好的知識網絡，對教材進行縱向和橫向的整合。縱向整合教材有助于知識的螺旋式深化，實現知識網絡向認知網絡的有效轉化。橫向整合教材就是通過構建橫向問題系統，也即構建知識的網絡，使數學知識系統以不同問題方式展現出來，使學生在不同方式的問題認知過程中實現認知結構的整體優化。再次是加強數學基本概念的理解。《教學大綱》指出“正確理解數學概念是掌握數學基礎知識的前提”，《普通高中數學課程標準(實驗)》則強調數學教學應當使學生“對概念和規律達到理性認識”。概念是培養學生數學理解能力的重要素材。數學理解的本質是學習者在頭腦中形成關于這個知識的內部網絡，即建立了該知識的圖式。卡彭特、Resnick等人的研究表明，數學理解有助于發明創造。而發明創造與創造想象密不可分，遷移直接影響類比和聯想，因此，加強概念教學有利于培養學生的直覺思維。

2．整體思考是直覺思維的前提

直覺思維要求學生對研究對象進行整體思考，從整體上去觀察數學結構，分析整體與部分、部分與部分之間的關系，探尋問題解決的思路，推測問題的結論，從而使問題得到簡化，直接揭示問題的本質。因此，引導學生對數學問題進行整體思考，有利于喚起學生的直覺思維。

3．數學直觀是直覺思維的平臺

數學教學可通過形象直觀來培養學生的數學直覺思維。“數”和“形”是數學中既對立又統一的基本范疇，“數”的問題借助于“形”可以使問題直觀化、簡單化，這有利于產生直覺思維。華羅庚教授認為：“數離形時少直觀，形離數時難人微。”因此，要有計劃、有目的地幫助學生將抽象的概念與數學直觀聯系起來考慮，充分提示概念和數量關系的直觀背景，為發展直覺思維創造條件。這里的數學直觀應包括圖形直觀、圖表直觀、模型直觀、語言直觀等。直觀雖不等于直覺，但直觀形象卻有助于直覺思維的形成。數學語言(數學名詞、術語、符號等)是抽象和簡明的，要讓學生不但熟悉這些語言，還應善于用生動的語言闡釋抽象難懂的概念，教師要善于比喻，因為比喻有助于學生展開豐富的聯想。

4．類比聯想是直覺思維的工具

類比是根據兩個(或兩類)對象之間某些方面的相似或相同，從而推斷出它們在其他方面的相似或相同的一種邏輯推理方法。通過類比，迅速建構數學模型，將大腦中儲存的知識信息進行加工，形成思維組塊，從而啟迪思維，促使直覺產生。

聯想是由當前所感知的信息，激活大腦中貯存的相關信息，從而回憶起有關的另一事物(信息)或創造性提出新的信息組合的心理活動過程。常見的聯想方式有接近聯想、相似聯想、因果聯想、逆向聯想、對比聯想等。通過聯想，學生從大腦信息庫中提取、檢索出的各種信息，直接影響思維的方向和思維空間。“聯想是產生直覺的先導”，因此，在數學問題解決的教學過程中，應不失時機地引導學生對所面臨的問題進行廣泛聯想。

5、創造想象是直覺思維的翅膀

想象是人對腦中已有的表象進行加工改造，從而創造出新形象的過程。它是人腦特有的功能，即使沒有事物或人工符號展現于眼前，人們也可以自由地構想出全新的關系、符號和事物。想象的心理機制是過去已有的暫時神經聯系得到重新的分解和組合。“想象”對于數學家來說是極為重要的。牛頓發明微積分，曾經得益于他對幾何與運動的直覺想象。想象是直覺在有意識狀態下產生或再現多種現象的能力。在數學教學中，教師應努力創造學生敢想、敢說、敢做的人文環境，盡力幫助學生展開想象的翅膀，改變學生的思維習慣，促進直覺思維水平的提高。

6．合情猜想是直覺思維的動力

牛頓說：“猜想是數學研究的向導。”波利亞也說過：“對于正積極搞研究的數學家來說，數學也許往往是像猜想游戲：在你證明一個數學定理之前，你必須猜想到這個定理，在你搞清楚證明細節之前，你必須先猜想出證明的主導思想。”數學家在數學的直覺與合情推理的基礎上，指引著人們研究數學問題的方向。在教學中，應鼓勵學生做中猜、看中猜、思中猜、探中猜，適當布置一些探索性和開放性的問題，這對培養學生的直覺思維能力是十分有益的。

7．數學思想是直覺思維的法寶

數學思想是對數學知識和方法的本質感悟，是數學的精髓和靈魂。函數與方程、數形結合、分類與整合、化歸與轉化、特殊與一般、有限與無限、或然與必然等重要的數學思想，它們是直覺思維的法寶。比如，學生運用方程思想可以較快地找到解題思路或方向，運用極限思想可以感悟事物發展的趨勢。

8．數學審美是直覺思維的“激素”

阿達瑪說：“數學直覺的本質是某種‘美感’或‘美的意識’”。數學美有對稱美、和諧美、簡潔美、奇異美等，重視數學審美教育、感受數學的奧妙，是培養學生數學直覺的一條重要途徑。美的意識能喚起和支配數學直覺。如簡單美能優化問題解決方案，提高問題解決思維的敏捷性。對稱美能啟發學生用對稱的思想考慮問題，將非對稱的問題對稱化，從而簡化問題的解決，對稱美是產生直覺思維的法寶。

在數學教學中，培養學生的直覺思維能力是一項重要而又艱難的工作。培養學生的數學直覺思維能力，應有長遠的規劃，要設計好數學問題，應營造有利于學生進行直覺思維的班級文化。由于“邏輯是證明的工具，直覺是發明的工具。”因此，在數學教學中，只有把直覺思維與邏輯思維有機結合，才能使學生的直覺思維能力不斷得到提高。

(責任編輯 劉永慶)