用指數下降法求解非線性方程

摘 要：本文主要論述通過局部指數逼近和差商近似，構造一種不用計算導數的線性收斂的非線性方程指數下降法。

關鍵詞：非線性方程 指數下降法 求解

1. 指數下降法的構造

非線性方程

2. 數值試驗

指數下降法的有效性有待于實踐檢驗。這里我們給一些具有代表性的問題，同時用指數下降法和割線性解這些問題，取相同的迭代初值x 和x 計算在指定區間［a，b］內的解x 的近似值 ，要求 與x 充分接近，滿足|f( )|＜ε=10 時終止迭代。

指數下降法(14)和割線法(15)都是超線性(1.618)收斂的，我們分別用這兩個迭代公式求上述六個問題的數值解，將所得數值結果列于下表。表中的數值結果是用雙精度運算得到的。

3. 推廣

這里通過對特殊初值問題(2)—(3)導出的數值方法(11)得到了指數下降法(14)。應當指出的是利用局部指數逼近的思想同樣適合于解一般的初值問題

此時可得相應的常微分方程初值問題的數值解法

這是一個顯式單步方法，容易驗證，方法(17)的局部截斷誤差T =O(h )。

特別，方法(17)是A穩定和L穩定的，并且對一切λ是指數擬合的 。事實上，將方法(17)用于試驗方程

由以上討論可見，方法(17)適合于求解剛性常微分方程初值問題。

參考文獻：

［1］吳新元.解非線性方程的常微分方程方法.南京大學學報(自然科學)，1995，(31)：No.1，15-19.

［2］吳忠麟，吳新元.解非線性方程的一個非線性迭代法.高等學校計算數學學報，1995，（17）：No.4，318-322.

［3］吳新元.改進的割線法及其大范圍收斂性.南京大學學報(自然科學)，1994，（30）：No.4，583-588.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”