分類討論思想在解題中的應用

摘要： 分類是基本邏輯方法之一。依據數學研究對象本質屬性的相同點和差異點，將數學對象分為不同種類的數學思想叫做分類的思想。將事物進行分類，然后對劃分的每一類分別進行研究和求解的方法叫做分類討論的方法。

分類的思想是自然科學乃至社會科學研究中經常用到的，又叫做邏輯劃分。不論從宏觀上還是從微觀上對研究對象進行分類，它都是深化研究對象、發展科學必不可少的思想。因此分類討論既是一種邏輯方法，也是一種數學思想。

關鍵詞： 分類討論 邏輯劃分 思維能力

一、分類思想和分類討論應遵循的原則及步驟

分類討論應當遵循三個原則：同標準、無遺漏、不重復；分類的步驟是：明確對象的全體——確定分類標準——科學分類——逐類討論——歸納小結得出結論。

二、引起分類的原因

需要運用分類討論的思想解決的數學問題，就其引起分類的原因，可歸結為以下四種類型：①涉及的數學概念是

分類定義的；②運用的數學定理、公式或運算性質、法則的局限性或是分類給出的；③求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能；④數學問題中含有參變量，這些參變量的取值會導致不同結果的應用。利用分類討論思想解決問題，必須保證分類科學、統一、不重復、不遺漏，并力求最簡。運用分類的思想，通過正確的分類，可以使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答。

例題1是因數學定理——余弦定理是在三角形中才能應用的定理這種局限性而要分類的；例題2是因數學概念——直線方程的斜截式是在斜率存在時才能應用的前提下而進行的分類。下面進行簡單的舉例分析。

例1 在ΔABC中，AB=15，AC=20，高AD=12，求ΔABC的面積S。

分析：本題因未給出圖形，由于AB＜AC，故隱藏了角B是銳角還是鈍角的前提條件，即角B的定義，而這個條件非常重要，因為三角形的面積在高一定時隨底的變化而變化。本題中底又因角B的性質變化而變化，即底為BC或B′C，三角形就有△ABC和△AB′C之分，這樣，它的面積的值就有了明顯的差別。如圖所示：

例2給出定點A（a，0)（a＞0）和直線l∶x=-1，B是直線l上的動點，∠BOA的角平分線交AB于點C。求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關系。

分析：本題考查動點的軌跡、直線與圓錐曲線的基本知識和分類討論的思想方法。本題中由于參數a的取值不同會造成曲線類型的改變，易錯點就是學生不能巧妙借助題意條件，構建動點坐標應滿足的關系式和分類討論軌跡方程表示曲線類型。

解：依題意，記B（-1，b)，(b∈R），則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=-bx。

設點C(x，y)，則有0≤x＜a。

由OC平分∠AOB，知點C到OA、OB距離相等。

根據點到直線的距離公式得|y|= ①

依題設，點C在直線AB上，故有

綜上，得點C的軌跡方程為

(i)當a=1時，軌跡方程化為y =x(0≤x＜1） ③

此時方程③表示拋物線弧段；

軌跡方程化為 + =1(0≤x＜a) ④

所以當0＜a＜1時，方程④表示橢圓弧段；

當a＞1時，方程④表示雙曲線一支的弧段。

例3設函數f(x)=x +｜x-a｜+1，x∈R。

(1)判斷函數f(x)的奇偶性；

(2)求函數f(x)的最小值。

分析：因為解析式中含有絕對值，所以去掉絕對值時要分類討論。去掉絕對值后還要根據二次函數的對稱軸的位置對參數a進行第二級分類討論。

解：(1)當a=0時，函數f(-x)=(-x) +｜-x｜+1=f(x)，

此時f(x)為偶函數。

此時函數f(x)既不是奇函數，也不是偶函數。

（2）①當x≤a時，函數f(x)=x -x+a+1=(x- ) +a+ ，

若a≤ ，則函數f(x)在(-∞，a］上單調遞減。

從而函數f(x)在（-∞，a］上的最小值為f(a)=a +1。

若a＞ ，則函數f(x)在（-∞，a］上的最小值為f( )= +a，

且f( )≤f(a)。

②當x≥a時，函數f(x)=x +x-a+1=(x+ ) -a+ ，

若a≤- ，則函數f(x)在［a，+∞］上的最小值為f(- )= -a，

且f(- )≤f(a)；

若a＞- ，則函數f(x)在［a，+∞)單調遞增。

從而函數f(x)在［a，+∞］上的最小值為f(a)=a +1。

綜上，當a≤- 時，函數f(x)的最小值為 -a；

當- ＜a≤ 時，函數f(x)的最小值是a +1；

當a＞ 時，函數f(x)的最小值是a+ 。

分類討論是一種重要的數學思想方法和解題策略，但它并非是解決所有問題的上策或良策。因此要注意克服動輒加以討論的思維定勢，充分挖掘數學問題中潛在的特殊性和簡單性，盡力打破常規避免不必要的分類討論。

總結

分類討論思想滲透到整個中學數學中，它不僅在數學知識的探究和概念學習中十分重要，而且在解決數學問題過程中起著重要作用。學習這種思想方法解決問題，對提高學習思維能力、解決問題的能力有很大作用。但我們也要防止討論過熱，實際上，有些討論是必然的，而有些討論是沒有必要的。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”