關于一類矩陣乘積的初等變換求法

摘要： 一般情況下，求兩個矩陣的乘積都是利用定義法來解決的，本文討論用初等變換的方法直接求可逆矩陣的乘積。

關鍵詞： 初等變換 可逆矩陣 矩陣乘積

進行矩陣的乘法運算，一般情況下都是應用定義的方法進行計算，即：若A B =C =(C ) ，則C = a b i=1，2，L，nj=1，2，L，m。本文給出了對任意可逆方陣A ，求A B 的初等變換解法。

引理：對任意n×m矩陣B ，若n×n矩陣A 可逆，則AB 可用如下行初等變換求解：(A B ) (E C )，且C =AB 。

證明：設X =AB ，則有

A X =B （1）

這就將問題轉化為解矩陣方程的問題。

又（1）可以寫成

顯然（2）的解按列排列構成的矩陣是（1）的解。

又A X =B 可用如下行初等變換實現(xiàn)求解：

且C =AB ，得證。

推論：對任意n×m矩陣B ，若P 、P 、L、P 為n×n可逆矩陣，則PLPPB 可通過一系列行初等變換

求得，且PLPPB 。

定理：對任意n×m矩陣B ，若A 為n×n可逆矩陣，則A B 可經(jīng)過一系列行初等變換求得。

證明：對任意n×n可逆矩陣A ，可直接對（A E ）做行初等變換得到A ，從而A =（A） ，從而A B =（A） B ，由定理1，A B 可經(jīng)一系列行初等變換求得，且所作初等變換依次為

下面舉例說明用以上方法求矩陣的乘積：

經(jīng)過檢驗，我們說上述例題用初等變換的方法求解結果正確。其實，平行的由于對(AB )做行初等變換等價于對AB做列初等變換，從而當A可逆時，由引理，BA 可通過對AB做列初等變換求得，于是當B為可逆方陣時，我們也可相應地對AB通過列初等變換求得。

參考文獻：

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”