用構造法巧解中學數學題

摘要： 本文主要講述如何運用構造法解決數學問題。通過分析、觀察、聯想構造出我們熟悉的函數、方程、模型等，使問題的難點轉變得簡單。

關鍵詞： 構造法 解題 應用 增函數

構造法是運用數學的基本思想，經過認真觀察、深入思考，根據需要與可行性構造出題設條件所沒有的函數、方程、模型等以溝通題設條件與待求或待證結論的數學方法。其內涵十分豐富。基本方法是：借用一類問題的性質，來研究另一類問題。

通過構造法解決數學問題，能夠培養學生觀察、分析、聯想的思維方法及創造性思維能力。下面通過舉例說明用構造法解題的一般思想。

一、構造函數

例1.求證： ≤ ，（a，b∈R）。

分析：上述不等式中的兩個式子 ， 可看成同一個函數f（x）= ，（x≥0），在|a+b|，|a|+|b|的值。

解：構造函數f（x）= （x≥0）。

先研究f（x）在［0，+∞）上的增減性，設0≤x ＜x ，

f（x ）-f（x ）= - = ＞0

∴f（x）在［0，+∞）上是增函數。

而|a+b|≤|a|+|b|

∴ ≤

說明：該題的常規解法是分類討論或平方去掉絕對值，而這里我們通過構造單調的遞增函數f（x）= ，x∈［0，∞）使問題簡單化。

二、構造方程

例2.設實數x，y，z滿足x -yz-8x+6=0y +z +yz-6x+5=0，求x的取值范圍。

分析：方程組中有三個未知量x，y，z，而只求x的取值范圍，可先設法消元（用x表示y，z）。

解：由

x -yz-8x+6=0

得

yz=x -8x+6①

由

y +z +yz-6x+5=0

得

y +z +yz=6x-5②

式②可化為

（y+z） =6x-5+x -8x+6

得

y+z=±（x-1）③

（由①，③可聯想到一元二次方程根與系數的關系，從而構造一個一元二次方程。）

由①，③可知y，z是一元二次方程m ±（x-1）m+x -8x+6=0的兩根。

又x，y，z∈R，

∴該方程必有實數解，從而△≥0，

即（x-1） -4（x -8x+6）≥0

可求得

≤x≤

說明：根據題設條件構造出與所求結論相關的方程，易于求解。

三、構造模型

例3.已知 + =1，求證： + =1.

分析： + =1與橢圓標準方程很相似。

證明：構造橢圓 + =1，

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”