試談類比法在高中數學教學中的應用

類比法是從特殊到特殊的推理，在歸納、演繹、類比這三種邏輯推理中，類比是富有創造性的一種方法。運用類比法的時候，研究對象范圍內沒有相應的一般原理，因而不受現成原理的約束，相反，它可以在更廣泛的范圍中提供種種可能的新原理，供人們去探索和驗證，因此從本質上講，類比法是一種發現探究的方法而不是驗證的方法。數學家G#8226;波利亞說：“類比是一個偉大的引路人。”在數學的教學與研究中，類比是進行合情推理的一種非常重要的思維方法。在我們平時的學習與生活中處處充滿著類比，可以說，類比是探索問題、解決問題與發現新結果的一種卓有成效的思維方法。在數學研究中，類比是發現概念、方法、定理和公式的重要手段，也是開拓新領域和創造數學新分支的重要途徑。學生在數學的學習中應該學會運用這種獨特的思維方法，教師在教學過程中則應努力培養學生運用類比方法進行合情推理的能力。

一、在新授課教學中運用類比方法，培養學生思維的創造性

在數學教材中，很多新知識都是在原有知識的基礎上發展而來的，因而在這些新知識中多少都會帶有舊知識的痕跡。在新授課時，通過對舊知識的回憶類比給學生創造“最佳思維環境”可以使學生猜想出新授知識的內容、結構、研究思想與方法，激發學習的積極性，變被動聽課為主動探究。

在數學的立體幾何部分教學中，許多概念、公理、定理都可以與平面幾何中的相近內容進行類比。如講授空間的兩直線的位置關系時，首先啟發學生回顧平面內兩條直線的位置關系進行類比聯想：先由平面中兩條直線的位置關系：平行或相交。設問：空間中兩條直線的位置關系是否也是只有平行與相交兩種呢？然后出示教具讓學生通過觀察進行聯想、類比，引出異面直線的定義，歸納出空間直線的位置關系：相交、平行、異面。講授二面角時，先回顧初中平面幾何中角的概念、表示方法，進行類比聯想：平面內從一點出發的兩條射線組成的圖形叫做角。在空間如何定義兩個平面相交形成的“角”呢？然后利用圖形進行觀察、類比，引出二面角的定義、表示方法。雖然這樣類比的結論不完全正確，但它卻教會了學生一種探索問題的方法，這也正是目前我們要把學生從“學會”轉化為“會學”的一種有益的嘗試和手段。

二、運用類比方法溫故知新

類比是從舊知識推出新知識的一種思考方法，也是人們聯想的思維工具。在學習數學的立體幾何部分時，對出現的新問題與平面幾何的有關知識進行類比，大膽猜想，可以發現新知識，從而溫故知新。如在學習三棱錐的體積時，教師應引導學生與三角形的面積進行類比：因為三角形的底邊長a對應三棱錐的底面積S，三角形底邊上的高h對應三棱錐的底面S上的高H，而二維空間里的三角形的面積公式A= ah，所以由類比方法推測，三維空間里的三棱錐的體積應為v= SH；正三角形的內心把高分成2∶1，可以與正四面體內切球的球心把高分成3∶1進行類比；證明三角形面積公式可以把三角形補成一個平行四邊形，三角形的面積是平行四邊形的面積的一半；類似的，要求三棱錐的體積，應把它補全成一個三棱柱，然后分割成三個等體積的三棱錐，這就是課本上的方法。如果我們教師運用類比的方法引導學生進行思考，那么他們對這種方法的理解就會毫無困難。另外，梯形的中位線公式L= （a+b）可以與臺體的中截面面積公式S = （S +S ）進行類比，這樣可以加深學生的記憶。

三、通過類比發現解題的思維方法

類比不僅是一種從特殊到特殊的推理方法，還是一種探索解題思路、猜測問題答案或結論的一種有效的方法。這對數學教學中培養學生的創新能力和創造性思維能力有著極其重要的作用，教學中應引起足夠的重視。如下兩例就是通過類比發現解題思路的思維方法。

1.在數學的立體幾何部分教學中，有這樣的一個問題曾難倒了許多學生：“求證正四面體A—BCD內的任意一點P到各個面的距離之和等于常數。”其實，只要與平面幾何的問題類比：“求證等邊三角形內的任意一點P到三角形的三邊的距離之和等于常數。”由于平面幾何中該命題的證明可采用“面積法”，類似的，這個立體幾何問題應采用“體積法”，于是問題迎刃而解。

2.當我們遇到一個較為生疏的難題而又無從下手的時候，如果能從構造一個類似的熟悉問題的解答過程中得到啟發，那么就很有可能悟出原問題的解法。下面的這個問題是非常典型的：“設A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8}從A到B的映射中，滿足：f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射一共有多少個？”乍看起來，有些學生感到這個問題好像無從下手。你見過一個類似的問題嗎？啟發學生進行對比聯想：“方程x+y+z+u=100總共有多少組正整數解？”這個問題你是怎么解決的？立即有學生想到：相當于用三塊隔板將100個排成一列的相同的小球分成四部分，每部分至少有一個球，有多少種方法？顯然是有C種方法。由此，從A到B的映射，共分為三類：①五對一的映射有C個。②五對二的映射，先把1、2、3、4、5用隔板分成兩部分，這兩部分而分別與6、7、8中選出兩個元素對應，共有CC個。③五對三的映射，先1、2、3、4、5用兩塊板分成三部分，分別對應6、7、8三個元素，共有CC個。因此這樣的映射總共有21個，問題獲解。

數學發展史上大膽的、令人驚奇的類比，天天在進行著：曲與直的類比，有限與無限的類比，數與式的類比，數與形的類比，平面與空間的類比……一般來說，差別愈大的對象間的類比，風險也愈大，那么，自然地導致重大發現的可能性也愈大。在數學教學中，如果能夠靈活地運用類比，從而使學生也會運用類比，將會對學生學習數學、運用數學解決實際問題乃至學生的思維方式產生深遠的影響。

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