由“將軍飲馬”引申的競賽題簡析

相傳，古希臘亞歷山大里亞城有一位久負盛名的學者，名叫海倫。有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖1中的A地出發，到筆直的河岸邊去飲馬，然后再去B地，走什么樣的路線最短呢？

精通數學、物理的海倫稍加思索，便回答了這個問題。這個問題后來被稱為“將軍飲馬”問題。其解法如下：

(1) 作出A點關于河岸的對稱點A'；

(2) 連接A'Ｂ，交河岸于Ｃ，Ｃ點即為所求的點。即：從Ａ地到Ｃ處飲馬，再從Ｃ處去Ｂ地，所走的總路程最短。

證明略。

這一流傳近2 000年的名題，仍有良好的教育功能，至今還被命題者所喜愛，并通過改編和引申編出許多競賽題，這些題目都是有關線路最短問題，其解題的基本思路是利用兩點之間線段最短。

一、 把A，B位置放在河的兩岸，引申成建橋問題。

例1如圖2，某工廠A在河的對岸有一分廠B，為了便利A，B間的往來，要在河上造一座橋。為了使A，B之間路程為最短，問橋應造在什么地方？在圖上（假設河兩岸MN與PQ平行，A，B連線與MN不垂直）作出橋的位置，寫出作法，并加以證明。（1990年紹興市初二數學競賽題）。

作法：(1) 自A作NM的垂線，并取AA'等于河寬（即兩平行線間的距離）。

(2) 連接A'B交PQ于D。

(3) 過D作CD⊥PQ交MN于C。

(4) 折線ACDB是自A到B的最短路程，CD是架橋位置。

二、 把A、B位置放在兩河的對岸，引申為建兩橋問題

例2如圖3所示，A，B兩個村之間有兩條平行的河（一河寬為a，另一河寬為b），從A至B經過兩座垂直于河岸的橋，要使路途最近，請你設計修橋地點，并說明根據。（1986年宿州市初中數學競賽題）。

解：設河岸分別為l1，l2，l3，l4（如圖4）。

(1) 過A作AA1⊥l1，使AA1=a，過B作BB1⊥l4，使BB1=b。

(2) 連接A1B1，分別交l2，l3于M，N，則M，N便是修橋地點。設垂直于河岸的橋分別為MM1，NN1，則從A到B可沿折線AM1MNN1B行走，折線為A到B的最短路線。

證明：若另選修橋地點，設在M'，N'處。所修垂直于河岸的橋是M'M2 ，N'N2，則從A到B須經折線AM2M'N'N2B。連接A1M'、B1N'，顯然A1M'=AM2，B1N'=BN2，因此，折線AM2M'N'N2B=折線AA1M'N'B1B。而折線AM1MNN1B=折線AA1MNB1B，又折線A1M'N'B1＞線段A1B1，故折線AM2M'N'N2B＞折線AM1MNN1B。

即折線AM1 MNN1B為從A經過兩座垂直于河岸的橋到達B點的最短路線。

三、 把背景放在兩河之間，編成新題

還有引申到長方體、圓柱、圓臺、圓錐等立體上的螞蟻爬行路線最短問題，限于篇幅，不再一一細說。

（臨海市第六中學）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。