淺談排列組合

隨著課程改革的不斷深入，中學數學課堂教學的內容與形式不斷發生新的變化，更注重與學生的積極配合，而不是傳統數學教學中的“知識本位”。本文就兩原理與排列組合談一些體會。下面介紹幾種題型及對策。

一、 特殊元素“優先安排法”

對于帶有特殊元素的排列組合問題，一般應先考慮特殊元素，再考慮其他元素。

例：七個同學排成一列，其中有四名男生，三名女生，若甲、乙兩人不得排在兩端，問有多少種排法？

分析：若有特殊要求元素，則根據情況考慮先排或后排，本題先將甲、乙排在中間5個位置中的兩個位置，上再排其余5個人，共有A25·A55＝240種。

二、 分類法

例：（2004全國高考）同數字1，2，3，4，5組成的所有沒有重復數字的5位數中，大于23 145且小于43 521的數一共有（）個。

（A）56個；（B）57個；（C）58個；（D）60個。

分析：當首位排2，次位排3，有A33-1＝5種，次位排4，5時有2A33＝12種。

當首位排3時有A44＝24種，當首位排4，次位排3時有A33-1＝5種。

次位排1，2時有2A33=12種，故共有5+12+24+5+12=58個。

三、 轉化法

對于一些生疏問題或直接求解較為復雜或較為困難的問題，直接入手不易解決，這時可以考慮間接將其轉化為一個簡單問題來處理。

例：動點從（0，0）沿水平或豎直方向運動到達（6，8），要使行駛的路程最小，有多少種走法？

解析：動點只能向上或向右運動才能使路程最小而且最小的路程為14，把動點運動1個單位看成是1步，則動點走了14步，于是問題就轉化為在14個格子中填寫6個“上”和8個“右”，這也是一個組合的問題，于是得到一共有C614＝3 003種走法。

四、 先選后排法

對于排列組合混合問題，可先選出元素，再排列。

例：4個不同小球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，恰有一空盒的方法有多少種？

分析：因有一空盒，故必有一盒子放兩球。(1)選：從四個球中選2個有C24種，從4個盒中選3個盒有C34種；(2)排：把選出的2個球看作一個元素與其余2球共3個元素，對選出的3盒作全排列有A33種，故所求方法有C24C34A33＝144種。

五、 捆綁法

對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可將相鄰的元素看做一個整體。

例：七個同學排成一列，其中有四名男生，三名女生，若甲、乙、丙三個人必須相鄰，問有多少種排法？

分析：先將甲、乙、丙三個人捆綁在一起，看做一個人，與另外一男生及三名女生排列，然后再排列三名男生間的順序，共有A55·A33＝720種。

六、 插空法

對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可。

例：要排一張有6個歌唱節目和4個舞蹈節目的演出節目單，任何兩個舞蹈不得相鄰，問有多少種不同的排法？

分析：不相鄰問題是要求某一些元素不得相鄰，此類問題可以先將其他元素排好，再將所指定的不相鄰元素，插入到它們的間隙及兩端位置，本題是先將6個歌唱節目排好，其不同的排法有A66種。這6個歌唱節目的空隙及兩端共7個位置中再排4個舞蹈節目有A47種，共有A47A66種。

七、 整體優先法

對于局部排列問題，可先將局部看做一個元素與其余元素一同排列，然后再進行局部排列。

例：7人站成一排照相，要求甲乙兩人之間恰好隔三人的站法有多少種？

分析：甲、乙及間隔的3人組成一個“小整體”，這3人可從其余5人中選，有C25種；這個“小整體”與其余2人共3個元素全排列有A33種方法，它的內部甲、乙兩人有A22種站法，中間選的3人也有A33種排法，故符合要求的站法共有C25A33A22A33＝720種

八、 插擋板法

例：由七個學校的學生組成一個10人的球隊，每個學校至少有一人，其分配方案共有（ ）種。

分析：10人排成一列，用6塊擋板將10人分成7段，每段至少一人，所以兩擋板不能相鄰，且不在邊上，即放在9個空當里，有C69種。

九、 直排法

把幾個元素排成前后若干排的排列問題，若沒有其他的特殊要求，可采取統一排成一排的方法來處理。

例：27個人排隊照相，第一排8個人，第二排9人，第三排10人，則所有不同的排法有多少種？

分析：27個人可以在前3排隨意就坐，再無其他條件，故3排可看做一排來處理，不同的排法共有A2727種。

十、 住店法

例：（1）4名同學報名參加學校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊、每人限報一個運動隊，不同報名方法種數是34還是43？

（2）4名同學爭奪三項冠軍，不允許并列，則其共有多少種不同的冠軍獲得方法。

分析：要解決重復排列問題要注意分兩類：一類元素可重復；另一類不可重復，不能重復的元素看做“客”，作為冪指數，能重復的元素看做“店”，作為冪的底數，再利用分步計數定理可求。故（1）34（2）43。

十一、 集合法

例：從6名運動員中選出4名參加4×100 m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第三棒，共有多少種不同的參賽方法？

分析：設全集U={6個人中任選4人參賽的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第三棒的排列}，根據集合元素個數的公式可得方法有：card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B)=A46 -A35 -A35 +A24 =252種。

十二、 逆向法

例：某餐廳供應快餐，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2葷2素共4種不同品種，現在餐廳準備了5種不同選擇的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上的不同選擇，則餐廳至少還要準備多少種不同的素菜？

分析：直接求較難，可以逆向考慮，設n種，轉化為方程計算。

解：至少還要準備不同的素菜n種，其中n?叟2，n?綴?篆。

故至少還要準備7種不同的素菜。

十三、 染色問題特殊法

例：在一個正六邊形的6個區域栽種觀賞植物，如圖1，要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物。現有四種不同的植物可供選擇，則有________種栽種方案。

分析：以A，C，E（相間）栽種植物情況作為分類標準：

①A，C，E栽種同一種植物，有4種栽法；B，D，F各有3種栽法，∴ 共有 4×3×3×3＝108 種栽法。

②A，C，E栽種兩種植物，有C24C23A22種栽法（C24是4種植物中選出2種，C23是A，C，E3個區域中選出2個區域栽種同一種植物，A22是選出的2種植物排列），B，D，F共有3×2×2 種栽法（注：若A，C栽種同一種植物，則B有3 種栽法，D，F各有2種栽法），∴ 共有C24C23A22×3×2×2＝432種栽法。

③A，C，E栽種3種植物，有A34種栽法；B，D，F各有2種栽法，∴ 共有A34 ×2×2×2＝192 種栽法。

綜合①，②，③，共有 108+432+192=732種栽法。

當然解決排列組合問題還有很多方法，比如縮倍法、列舉法、比例法等。但不管采用哪種方法，都要注意仔細審題，深入分析，特別對于有限制條件的比較復雜的問題，要周密分析，設計出合理的方案，把復雜問題分解為若干個簡單的基本問題解決。高考中排列組合問題常與概率結合，所以要熟練掌握解題策略，才能運用自如。

（福建莆田第四中學）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。