開放型數學問題的幾種探索方法

開放型數學問題是近幾年奧數競賽中的熱點，也是中考的熱點。數學中的該類試題是指命題中缺少一定的題設或未給出明確的結論，需要經過推斷、補充并加以證明或需要通過觀察、比較、分析、綜合、猜想并加以驗證來得出結論。由于此類題突出了思維的多樣性，可培養學生的創新意識，但同時由于無固定的思維模式，無現成的解題套路，造成了考生對此類題無從下手。萬物總是從無序到有序，筆者就該類問題提供幾種探索方法。

一、 特殊值探索法

例1：把兩個全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖1），且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合，現將三角板EFG繞O點按順時鐘方向旋轉（旋轉角?琢滿足條件0°＜?琢＜90°），四邊形CHGK是旋轉過程中兩三角板的重疊部分（如圖2）。

(1)在上述旋轉過程中，BH與CK有怎樣的數量關系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發現的結論；

(2) 連接HK，在上述旋轉過程中，設BH＝x，△GKH的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3) ∵S△BEA: S△ABD =BE:BD=S△BEC: S△BCD ，∴S△BEA: S△BEC= S△BCD:S△ABD，∴S△BEC: S△BEA=2

三、實踐操作探索法

例3：用剪刀將形狀如圖4所示的矩形紙片ABCD沿著直線CM剪成兩部分，其中M為AD的中點，用這兩部分紙片可以拼成一些新圖形，例如圖5中的Rt△EBC就是拼成的一個圖形。

(1)用這兩部分紙片除了可以拼成圖中的Rt△EBC外，還可以拼成一些四邊形，請你試一試，把拼好的四邊形分別畫在圖6、圖7的虛框內；

(2)若利用這兩部分紙片拼成的Rt△EBC是等腰直角三角形，設原矩形紙片中的邊AB和BC的長分別是a cm，b cm，且a，b恰好是關于x的方程x2-（m-1）x+m+1=0的兩個實數根，試求出原矩形紙片的面積。

分析：(1)通過實踐操作，可知AM=DM及拼成的四邊形如圖8，圖9:（不唯一）。

四、 類比探索法

例4：已知△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D，交AC于E。

(1) 如圖11，若AB=6，CD=2，求CE的長。

(2) 如圖12，當∠A為銳角時，連接BE，試判斷∠BAC與∠CBE的關系，并證明你的結論。

(3) 若圖13中的邊AB不動，邊AC繞點A按逆時針旋轉，當∠BAC為鈍角時，如圖13，CA的延長線與⊙O相交于E。

請問：∠BAC與∠CBE的關系是否與(2)中你得出的關系相同？若相同，請加以證明；若不同，請說明理由。

(2)類比(1)連接AD，則∠2=∠3=∠1，∴∠BAC=2∠EBC。

(3)類比(2)連接AD（如圖13），則∠4=∠5，而A，E，B，D四點共圓，所以∠EBC=∠5 ，∴∠BAC=2∠EBC。

五、 反證探索法

例5：李明同學和馬強同學合作將半徑為1 m，圓心角90o的扇形薄鐵板圍成一個圓錐筒，在計算圓錐的容積時（接縫忽略不計），李明認為圓錐的高就等于扇形的圓心O到弦AB的距離OC（如圖14），馬強說這樣計算不正確，你同意誰的說法？請說明你的理由。

六、 分類探索法

例6：以x為自變量的二次函數y= -x2+2x+m，它的圖像與y軸交于點C(0，3)，與x軸交于點A，B，點A在點B的左邊，點O為坐標原點。

(1) 求這個二次函數的解析式及點A，點B的坐標，畫出二次函數的圖像；

(2) 在x軸上是否存在點Q，在位于x軸上部分的拋物線上是否存在點P，使得以A，P，Q三點為頂點的三角形與△AOC相似（不包含全等）？若存在，請求出點P、點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

分析：(1) 易得y= -x2+2x+3（如圖15）

(2) 分類探索，當∠AQP=90°時，設P（x，y），

（武義縣武陽中學）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。