構(gòu)造法在證明不等式中的應(yīng)用

摘 要：“構(gòu)造法”作為一種重要的化歸手段，是數(shù)學(xué)中一種富有創(chuàng)造性的思維方法。在數(shù)學(xué)解題中尤其在證明不等式中有著重要的作用。文章采取了歸納總結(jié)的方法，通過(guò)構(gòu)造幾種數(shù)學(xué)模型，即：函數(shù)模型、幾何圖形模型、數(shù)列模型、方程模型、向量模型、代數(shù)式模型，以中學(xué)數(shù)學(xué)中某些典型為例，探討了構(gòu)造法在證明不等式中的應(yīng)用。最后在總結(jié)中提及了構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的教學(xué)價(jià)值和以后的努力方向。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造 構(gòu)造法 模型 不等式

1. 引言

近年來(lái)，有關(guān)不等式證明的題目愈來(lái)愈多地出現(xiàn)在各級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽、高考中，是競(jìng)賽、高考中熱門話題之一。不等式證明的方法很多，從化簡(jiǎn)特征上看可分為兩大類：一是利用不等式的性質(zhì)及重要不等式；二是輔助方法，通過(guò)變量代換，構(gòu)造輔助元素（如圖形、函數(shù)、方程、代數(shù)式、反例等）來(lái)達(dá)到證明的目的。

構(gòu)造性解題方法（簡(jiǎn)稱構(gòu)造法）是一個(gè)古老而又嶄新的科學(xué)方法，歷史上許多著名的數(shù)學(xué)家，如歐幾里得、高斯、歐拉、拉格朗日、康托等，都曾運(yùn)用這一方法解決過(guò)數(shù)學(xué)難題。構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中一種極富技巧性和創(chuàng)造性的解題方法，當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題需要解決時(shí)，常常通過(guò)深入分析問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征和內(nèi)在規(guī)律，要么把題設(shè)條件中的關(guān)系構(gòu)造出來(lái)，要么將關(guān)系設(shè)想在某個(gè)模型上得到實(shí)現(xiàn)，要么將已知條件經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)倪壿嫿M合而構(gòu)造出一種新的形式，從而使問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的函數(shù)、方程和圖形等，再進(jìn)行求解。構(gòu)造法本質(zhì)上屬于轉(zhuǎn)化思想的范疇，但它常常表現(xiàn)出簡(jiǎn)捷、明快、精巧、新穎等特點(diǎn)，使數(shù)學(xué)解題突破常規(guī)，具有很強(qiáng)的創(chuàng)造性。運(yùn)用構(gòu)造法證明不等式，重在“構(gòu)造”根據(jù)由已知條件與要證的結(jié)論所提供的信息進(jìn)行聯(lián)想、類比，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，通過(guò)對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)模型的研究去實(shí)現(xiàn)原問(wèn)題的解決。本文歸納總結(jié)了構(gòu)造法在證明不等式中的應(yīng)用，并就構(gòu)造函數(shù)模型、幾何圖形模型、數(shù)列模型、方程模型、代數(shù)式模型和向量模型五個(gè)方面進(jìn)行了初步的探討。

2. 主要內(nèi)容

2.1構(gòu)造函數(shù)模型

我們常常利用一次函數(shù)的線性性質(zhì)、二次函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)證明某些不等式問(wèn)題。在證明不等式時(shí)，抓住不等式與函數(shù)的密切關(guān)系，以問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征為起點(diǎn)，構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)，從函數(shù)的思想和方法來(lái)解決問(wèn)題。

2.2 構(gòu)造方程模型

解不等式的實(shí)踐告訴我們，不等式的解區(qū)間的端點(diǎn)就是它相應(yīng)方程的解，正是利用它們之間的這種內(nèi)在聯(lián)系，可設(shè)法構(gòu)造方程來(lái)證明不等式。

例2若{a }是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S 是它的前n項(xiàng)的和，證明：S ·S ＜S。

分析：聯(lián)想到二次方程的△=6 -4ac，因此可以試用構(gòu)造二次方程的辦法解決問(wèn)題。

解：構(gòu)造一元二次方程S x +2S x+S =0?搖?搖?搖 ①

∵S 是正項(xiàng)數(shù)列前n項(xiàng)的和

說(shuō)明：這里為解決有關(guān)數(shù)列差的問(wèn)題，由聯(lián)想構(gòu)造出了一個(gè)一元二次方程，由于易于判斷它的根的性質(zhì)，從而達(dá)到了證明Δ＞0的目的，轉(zhuǎn)而證明了數(shù)列問(wèn)題，這里就是典型的構(gòu)造法。

2.3 構(gòu)造幾何模型

把已知條件或要證不等式中的代數(shù)量直觀化為某個(gè)圖形中的幾何量，即構(gòu)造出一個(gè)符合條件的幾何圖形，便可應(yīng)用該圖形的性質(zhì)及相應(yīng)的幾何知識(shí)證明不等式。

例3正數(shù)a、b、c、A、B、C滿足條件a+A=b+B=c+C=k，求證：aB+bC+cA＜k 。

用構(gòu)造法，數(shù)形結(jié)合，得出此不等式的巧妙證法。

證明一：由求證的不等式聯(lián)想到面積關(guān)系，有所設(shè)條件聯(lián)想到構(gòu)造以邊長(zhǎng)為k的三角形，如下圖所示：

證明二：由求證的不等式聯(lián)想到面積關(guān)系，由題設(shè)條件式聯(lián)想到以邊長(zhǎng)為k的正方形。如下圖所示：

上面從代數(shù)和三角各舉了一例。從上面兩道例題足以說(shuō)明：利用幾何圖形來(lái)證明不等式，不僅能使有關(guān)問(wèn)題簡(jiǎn)捷獲解，更重要的是能提供有效的幾何直觀，以加深對(duì)不等式實(shí)質(zhì)的理解。但在用這種方法時(shí)應(yīng)注意：

（1） 構(gòu)造幾何圖形不能盲目亂湊，要有正確的思考方法。從上面例子可得出總的思考原則：先尋找題目條件與所求問(wèn)題中給出的各種式子的幾何含義，然后考慮可借用哪些有關(guān)的幾何概念和性質(zhì)，在這些基礎(chǔ)上進(jìn)行設(shè)計(jì)，構(gòu)造出合適的幾何圖形。

（2） 此法不是對(duì)所有的代數(shù)或三角題都適用。因此，這種方法既要用得當(dāng)，又要解法比較簡(jiǎn)便。這就要求我們所構(gòu)造出的幾何圖形比較簡(jiǎn)單，切不要故弄玄虛，生硬拼湊出復(fù)雜的幾何圖形來(lái)解題。

2.4 構(gòu)造向量模型

例4設(shè)a、b為不相等的正數(shù)，求證：（a +b ）(a +b )＞(a +b ) 。

分析：利用向量的數(shù)量積不等式

|m|·|n|≥|m·n|。

證明：設(shè)m=(a，b)，n=(a ，b )，利用向量的數(shù)量積不等式有|m|·|n|≥|m·n|。由于a≠b，故ab -a b≠0，也即向量m與n不是平行向量，故|m|·|n|＞|m·n|，|m| ·|n| ＞|m·n| ，即（a +b ）(a +b )＞(a +b ) 成立。

2.5 構(gòu)造數(shù)列模型

例5求證：C+C+…+C＞n·2 。

分析：不等式左邊即為2 -1= ，從而聯(lián)想到等比數(shù)列的求和公式，于是

將上述三式相加并整理，即得x +y +z ≥ 。

3. 總結(jié)

構(gòu)造法證明不等式涉及的內(nèi)容很廣，綜合應(yīng)用了轉(zhuǎn)化函數(shù)、方程、數(shù)形結(jié)合等多種思想方法。其構(gòu)造的形式也很多樣，例如構(gòu)造復(fù)數(shù)、構(gòu)造向量、構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造反例等也是常遇到的。這也充分體現(xiàn)了構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的教學(xué)價(jià)值：提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的敏感性和數(shù)學(xué)解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力和審美能力。

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”