論數學概念在中學數學教學中的應用

數學概念是反映一類對象以空間形式在數量關系方面本質屬性的思維形式，在數學教學中有著極其重要的地位。正確理解數學概念是學習數學的核心，是培養學生邏輯思維能力的必要條件，因而數學概念的教學是一個值得研究的重要課題。下面，本人結合自己的中學教學實踐，談談數學概念教學的體會。

一、什么是數學概念

概念，思維的基本形式之一，反映客觀事物的一般的、本質的特征。人類在認識過程中，把所感覺到的事物的共同特點抽出來，加以概括，就成為概念。因此，概念從邏輯結構上看，就是反映某種事物及其特有的本質特性的思維形式。具體到數學教科書來說，數學概念指的就是書本中那些名詞術語的釋義。它們中，一類是占量較多而給一定義的，如有理數、無理數、方程、平行、垂直、相似形、軸對稱圖形、函數、數列、數列的極限等等，另一類是占量較少而不給定義的，如點、直線、平面、集合、對應、同側、異側等等，對它們只做些簡單描述性的說明。

每一個概念都有它自身的內涵和外延。內涵是指這一概念所包括的對象的一切基本屬性的總和，外延是指適合于每一概念的一切對象。概念的內涵和外延之間，還存在著反比例的關系，即概念內涵擴大，外延就縮小；內涵縮小，外延就擴大。概念有種（概念）、類（概念）之分，平行四邊形和菱形的關系正好說明這一點。

二、數學概念在數學教學中的作用

正確理解數學概念是掌握數學規律的前提。數學概念是數學的一般知識，它包括定義、定理、公式、性質、法則。數學概念是數學中進行邏輯推理的基礎。如果概念不清或錯誤，那么由概念構成的判斷、推理就會產生錯誤的論證和運算，更談不上得出正確的結果。例如初中數學中算術根的教學，近幾年使用的教材是這樣描述的：正數正的方根叫算術根。顯然這是定義，而下定義的概念（正數正的方根）的外延（所有正數的方根）容易被下定義概念的外延（所有正數正方根，所有零的方根）。這違反了下定義的外延相等的規定，于是就成了一個過窄的定義，在這種過窄的定義的指導下，學生在理解時經常出現錯誤。例如:

1.當x為何值時 =- 。

解：當X＜-1時等式成立。

2.求函數Y= 的定義域。

解：X＞-3的一切允許值是該函數的定義域。

上述二例忽略了X=-1和X=-3時的可能性，使題解失去了完整性。因此，正確的算術根的定義應該是：非負數的非負平方根的叫算術根。

三、在數學教學中如何利用數學概念

1.尋求形成根源，理解概念。

數學概念教學的第一步是引入概念，它是理解和應用概念的前提，如何引入呢？我覺得應從尋求其形成的根源入手。

幾乎每一個數學概念的引入都伴隨著一個動人的故事，如引入無理數時，可向學生介紹無理數發現的背景；又如講解析幾何時可向學生介紹笛卡爾，講二項式定理時可向學生介紹楊輝三角。了解一個概念的發生、發展過程，有利于學生對某一概念的形成，同時，數學史也是對學生進行思想教育的極好教材。

2.用直觀的對比方法引入概念。

新數學課程標準中特別指出：抽象數學概念的教學，要關注概念的實際背景和形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式。一個概念在學生思想上的形成是有一定過程的，教師在教學中應從具體到抽象、從現象到本質，引導學生逐步形成概念，運用直觀對比的方法引入概念，就可以達到新課標提出的要求。它往往比單純孤立地講授概念效果要好。它可以將抽象思維轉化為形象思維，這樣既可避免學生聽起來感到枯燥無味，又可減輕他們記憶的負擔。在中學數學里，不少內容是可以通過直觀對比方法來引入的，如：立體幾何里講異面直線概念時，可以先讓學生觀察教室里或生活中的各種實例，再看異面直線的模型，抽出本質特征，概括出異面直線的定義，并畫出直觀圖，即沿著實例——模型——圖形——想象的順序逐步抽象形成正確的概念。現行的各種版本的新教材中，在每章的前面，都設計了“章頭圖”，這些圖形都是學生們非常熟悉的事物，以此加強學生對數學概念的認識。有些內容，若“數”、“形”能夠結合的一定要盡量結合起來講，不能怕麻煩，如在實數集合、指數函數、對數函數等內容的教學中，都可以用數形結合的方法來組織教學。

3.利用聯系對比，鞏固概念。

在中學數學中，有許多概念既有本質不同的面，又有內在聯系的一面，教學中，如果只注意某一概念的本身，忽視不同概念之間的聯系，那么就會使學生對概念的掌握停留在膚淺的表面上。因此，我們應采用聯系對比的教學方法使學生區別異同，防止概念的混淆，起到深化鞏固概念的作用。

如：函數，結合中學階段所講的函數概念，指出函數就是從定義域到值域的一類特殊映射，所以映射中的集合A、B必須是非空的數的集合；其次，作為函數其對應關系與映射也不盡相同，請看下列從集合A、到集合B的映射（AB中元素為實數）。

（１）在圖（a）中，Ｂ中每一個元素在Ａ中都有唯一的原象；

（２）在圖（b）中，Ｂ中每一個元素在Ａ中都有原象（但不唯一）；

（３）在圖（c）中，Ｂ中部分元素Ａ中無原象（b3）。

那么圖(a)(b)相應的映射無謂函數，而圖(c)則不是函數。映射作為函數，必須滿足以下兩條：集體Ａ，Ｂ是非空的數的集合；集合Ｂ中每一個元素在Ａ中都有原象。

4.用發展、變化的觀點，深化概念。

每個概念都有它的確定意義，但隨著事物的發展和知識的不斷豐富，有些概念也在不斷地發生變化。因此，在教學中就要求我們通過對概念的限制和概括去揭示概念的內涵和外延，使學生認識到概念的確切定義往往是相對的，在一定條件下的定義并非永遠不變。例如：函數定義中，自變量和因變量這兩個概念，是在某事物的特定條件下，形成一定的函數關系后，才確定的。比方說：每冊書定價A元，（1）買X冊這樣的書要付書費多少元（Y元）；（2）現有Y元錢能買多少冊書（X冊）。這里（1）中從函數關系Y=ax可以見到應付書費Y是函數，買書冊數是變數。而（2）中從函數關系可以見到X又是Y的函數了。至于這里每冊書的定價a這個常量也是在特定的空間、時間等條件下才保持不變的。其次，隨著教學的不斷深入，學生年級的升高，某些數學概念的本來含義也在發生著變化。如：角的概念從平面180度以內的銳角、直角、鈍角，開始認識到平角、周角、任意角，直到規定了方向后的正角、負角，以及空間生成的二直線的夾角，直線和平面、平面和平面的夾角等，這說明角的概念發展以后，更加抽象和一般化了。像這樣，發展了的概念包括了原始概念，原始概念成為發展后概念的特殊情況，原始概念可以統一在發展以后的概念里。但也有的概念得到發展后，與原始概念有著完全不同的含義。

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