一題再問

例.已知，在正方形ABCD中，E是BC的中點，點F在CD上，∠FAE=∠BAE。

求證：AF=BC+FC。（2000年湖北省荊門市中考題，蘇科版教材的選題）

證明：過點E作EG⊥AF交于點G，

∵∠FAE=∠BAE，∠ABE=∠AGE，AE=AE

∴△ABE≌△AGE

∴AB=AG，BE=GE

又∵BE=EC

∴EG=EC

∴∠EGC=∠ECG

又∵∠EGF=∠ECF=90°

∴∠CGF=∠GCF

∴FG=FC

∴AF=AG+GF=AB+CF

［評析］在解直線形的問題時，如題目中出現(xiàn)角平分線時，常利用角平分線的軸對稱性構(gòu)建全等三角形。

第一問：還有證法嗎？

證明：如圖3，延長FC和AE交于點G。

根據(jù)正方形ABCD可知，AB=BC，AB∥CD，∠ABD=∠ECG=90°。

又∵∠AEB=∠CEG，E為BC中點

∴△ABE≌△GCE

∴CG=AB

又∵AB∥CD

∴∠CGE=∠BAE

又∵∠FAE=∠BAE

∴AF=FG

∵FG=FC+CG=FC+BC

∴AF=BC+FC

［評析］在解直線形的問題時，如題目中出現(xiàn)中點和平行線時，常將與中點有關(guān)的線段延長與平行線相交，從而構(gòu)建全等三角形。

第二問：AF= BC+DF嗎？

證明：將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°使AD與AB重合得△ABG，

則G、B、C三點在同一條直線上，AF=AG，∠FAD=∠BAG，GB=DF。

又∵AD∥BC

∴∠EAD=∠BEA

又∵∠FAE=∠BAE

∴∠FAE+∠FAD=∠BAE+∠BAG

即∠DAE=∠AEG

∴∠GAE=∠AEG

∴AG=GE=BE+GB

又∵BE= BC，GB=DF

∴AF= BC+DF

［評析］在解有關(guān)正方形的題目中，經(jīng)常利用正方形的邊相等的特點，將某個圖形加以旋轉(zhuǎn)與另外一個圖形拼接。

第三問：CF與CD有何數(shù)量關(guān)系？

注：該題也可由第一問中的解法證得。

一條題目往往可以挖掘其中的各個條件，提出許多問題，這樣可以達到事半功倍、舉一反三的效果，從而避免大量練習(xí)的題海戰(zhàn)術(shù)，希學(xué)生們多向題目問問題。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”