求動點軌跡的幾種方法

所謂軌跡也就是滿足一定條件的動點形成的曲線，在直角坐標系中，動點的坐標( )滿足的方程就叫軌跡方程，求動點的軌跡方程是解析幾何中一類重要問題，也是高考的一個熱點問題之一下面舉例說明求動點軌跡的四種常用方法。

一、直接法

直接法也就是五步法：①建系設點②找動點滿足的幾何條件③幾何條件坐標化④化簡⑤處理軌跡上的特殊點(此步有的題沒有)。

直接法通常利用求動點軌跡方程的步驟:先設出動點坐標(x，y)后，根據題中所給關于動點的條件，列出x，y滿足的方程。

例1:設兩定點A，B距離為8，求到A，B兩點距離的平方和是50的動點的軌跡的方程

解:以A，B所在直線為X軸，線段AB的中垂線為y軸，建立直角坐標系，則A，B兩點的坐標分別為A(-4，0)，B(4，0)

設P(x，y)為所求曲線上任意一點

依題意:+ =50

即 + =50

化簡得:x + y =9

用動點坐標(x，y)準確表示動點所滿足的條件，構造x，y的方程，是直接法求軌跡方程的關鍵.

二、幾何法

對某些動點所滿足的條件，由幾何知識或圓錐曲線定義，能夠直接判斷出動點軌跡是何種曲線，從而寫出其方程.這種方法倒是可以“直接”寫出結果，但需要有對曲線幾何性質熟練的分析判斷能力.

例2:若動圓M與⊙C1: （x+1） + y =1外切，與⊙C2: （x-1） + y =25內切，求動圓M的圓心的軌跡方程

解:設動圓M的半徑為r，則

+ =6

而C (-1，0) ， C (1，0)正好是關于原點對稱的兩個定點，從而可知點M的軌跡是以點C 、 C 為左右焦點，長軸長等于6的橢圓.

∵ c=1， a=3， b =8

∴動圓M的圓心M的軌跡方程是：

例3：已知圓C方程為（x-3）2+y2=4，定點A（-3，0），求過定點A且與圓C外切的動圓圓心P的軌跡方程。

解：設動圓P的半徑為r，則

— =2

0< — <

∴由雙曲線定義，點P的軌跡是以A、C為焦點，2為實軸長的雙曲線的左支，其中c=3， a=1

∴b =8∴動圓圓心P的軌跡方程是：x2— =1 （x<0）

這種解法雖然省卻了對方程化簡整理的過程，但對圓錐曲線的定義及其幾何性質必須熟練掌握靈活運用，方能化繁為簡。

三、代入法

如果題中出現兩個動點，其中一個動點在已知曲線上移動，而需求的動點和這個動點間坐標關系確定，則可設法求出前一動點的坐標用需求的動點坐標表示的式子，再代入已知軌跡方程中去，從而求得需求動點的軌跡方程。當所求軌跡上的點P是隨另一動點Q 變化而變化時，且動點Q的運動軌跡已知，設P( ， 可利用 表示 ，而后把( )代入Q點的軌跡方程即可得到P的軌跡方程。

例4：P是雙曲線 上任意一點，O為坐標原點，求線段OP的中點M的軌跡方程。

解：設P( )，M( )M是OP的中點

又P在雙曲線 上

線段上OP的中點M的軌跡方程為：

四、參數法

在求動點軌跡時，碰到等量關系難找時，通常采用參數法。即在解題中，引入第三個變量t—參數。用它來表示出動點軌跡坐標x，y的解析式，得到動點軌跡的參數方程，即

從中消去參數t，便可得到曲線的軌跡方程。

例5：求當點（x，y）在以原點為圓心，a為半徑的圓上運動時，點（x+y，xy）的軌跡方程。

解：設以原點為圓心，a為半徑的圓的參數方程為

（θ是參數）

則點（x+y，xy）的軌跡的參數方程為

消去參數θ，得軌跡方程為：

x2=a2+2y (- )

五、待定系數法

當已知中告訴軌跡的形狀或能根據條件判斷動點的軌跡形狀，求這樣的動點軌跡方程時，先設出軌跡方程，而后通過已知條件確定方程中的待定系數，如求直線的方程，圓的方程，橢圓的標準方程，雙曲線的標準方程，拋物線的標準方程時均用此種方法。

例6：求焦點在坐標軸上，且經過A 兩點的橢圓的標準方程。

解：設橢圓方程為： 橢圓過A、B兩點

即

解之得： 所求橢圓的方程為：

通過以上分析，我們知道求軌跡方程，關鍵在于深刻理解題意，認真挖掘動點與定點之間的數量關系，運用恰當的方法就能輕松寫出動點的軌跡方程。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文