利用函數極限求出一類數列極限

摘 要 文章中通過函數極限與數列極限的關系， 給出了形如 及

(其中 為 的高次多項式)的極限結果， 使學習非數學專業高等數學的人群能更加容易地求出此類數列的極限.

關鍵詞 數列極限; 海涅定理

一、引言

數列極限運算是高等數學中最重要最基本的運算之一. 在財經類及工程類高等數學中， 由于專業特點決定了這些非數學專業主要側重于高等數學性質和定理的應用， 對相關性質及定理往往省略其證明和相關結論. 這一特點使得在求比較復雜的數列極限時比較費力. 文章給出了形如 及 (其中 為 的多項式)的極限運算結果， 這樣在遇到此類數列極限運算時， 就可以比較簡單地得到其結果， 從而簡化此類數列極限的求解.

二、求數列極限

數列極限與函數極限的關系有以下結論[1]:定理(海涅定理)的充分必要為對任意數列 ，， 有 在函數極限中容易證明下面結論:引理 1 設 ， 其中 與 為非負正整數， 有證明 當 時， 類似地可以證明其余兩種情形.綜合上面兩個結論， 我們有定理 1 設數列其中則 證明 設 令 ， 則 ，.由海涅定理， 得 ，所以.

三、求數列極限

上面所得結論， 可進一步推廣:引理 2 設 ， 其中 ， ， ， 為非負正整數， 且有證明 當 時， 類似地， 可以證明其余兩種情形.利用函數極限與數列極限的關系， 可得:定理 2 設數列其中 則證明 設 令 ， 則 ，.

由海涅定理， 得 .

四、結論

本文利用數列極限與函數極限的關系， 給出了一類較復雜的數列極限的求解結果， 使得在非數學專業高等數學的求數列極限的過程中， 能夠更容易地求出形如 及 的極限. 在工程類數學、經濟類數學及其它非數學專業領域中， 有許多數學問題的解決方法可以總結出來， 以便應用起來更加簡便.

參考文獻

[1] 劉玉璉， 傅沛仁. 數學分析講義(第三版)[M]. 北京: 高等教

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