數學解題中的逆向思維及其應用

[摘要]所謂逆向思維就是不按習慣思維方向，而是從其反方向進行思考的一種思維方式。解題時，順推不行時考慮從其反面來間接解決，探討可能性發生困難時轉換為探討不可能性。總之，當我們反復思考某個問題陷入困難時，逆向思維會使人頓開茅塞，絕境逢生。

[關鍵詞]數學教學 逆向思維 可逆性

一、運用反證法歸謬進行逆向思維

例1.已知函數f(x)=2x2+mx+n，求證｜f(1)｜、 ｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一個不小于1.

分析：正面求證困難，我們采取反證法，假設命題不成立，即 ｜f(1)｜、 ｜f(2)｜、｜f(3)｜都小于1，則

由(1)＋(3)得－11<2m+n<－9與(2)矛盾，所以假設不成立，即 ｜f(1)｜、 ｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一個不小于1.

評注：反證法被譽為“數學家最精銳的武器之一”，它也是中學生解數學題的常用方法。當要證明的結論中有“至少”等字樣，或以“否定”形式給出時，一般可考慮采用反證法。

例2.若p3+q3=2，其中p.q∈R，求證p+q≤2.

分析：同例1，正面入手困難，考慮用反證法。

假設p+q>2，則p3+q3>p3+(2-p)3=6(p-1)2+2≥2，這與p3+q3=2矛盾，∴p+q≤2。

二、運用補集思想進行逆向思維

1.求二項式（ 153x－y）15展開式中所有無理系數之和。

分析：本題若正面求解，必須用二項式定理展開，先找出所有無理系數，再求其和，這顯然十分麻煩，可試著從反面思考。

由通項Tr+1=Cr15315-r15x15-r(-y)r，知該二項式的展開式中所有有理系數的項只有兩項：

T1=(153x)15=3x15和 T16=(-y)15=-y15，其系數之和為3+(-1)=2.

又在二項式（ 153x－y）15中，令x=y=1，可得展開式中所有各項的系數之和為（ 153－1）15.故二項式（ 153－y）15展開式中所有無理系數之和為（153－1）15－2.

評注：若把二項展開式中所有系數設為全集，則展開式中無理系數與有理系數互為補集，利用補集思想逆向思維使本題得以解決。

例2.若函數f(x)=(m-2)x2-4mx+(2m-6)的圖象與x軸有兩個交點，其中至少有一個在x軸的負半軸上，求實數m的取值范圍。

分析 “至少有一個在x軸的負半軸上”包含兩種情形，其否定情形“兩個都不在x軸的負半軸上”則較簡明。

假設兩個交點都不在x軸負半軸上，由一元二次方程的根與系數關系有

注意到全集I=.故m的取值范圍為(1，2)∪(2，3).

三、運用可逆原理進行逆向思維

例1.求值tan23°+tan37°+ 3tan23°tan37°

解：原式 = tan(23°+37°)(1-tan23°tan37°)+ 3tan23°tan37°

=3-3tan23°tan37°+ 3tan23°tan37°=3

評注：這里利用公式的可逆性，直接逆用公式使問題很快得到解決。

例2.某地區為促進淡水養殖業發展，把價格控制在適當范圍內，決定對淡水養殖提供政府補貼。設淡水魚市場價x元/公斤，政府補貼t元/公斤，據市場調查，在8≤x≤14時，淡水魚的日供應量P千克與需求量Q千克近似地有：

P=1000(x+t-8)(x≥8，t≥0)，Q=500[40-(x-8)2]12(8≤x≤14).稱P=Q時淡水魚價為市場平衡價格。

（1）把市場平衡價格表示為政府部補貼的函數，并求此函數的定義域。

（2）為使市場平衡價格不高于10元/公斤，政府補貼每公斤至少多少元？

分析：由P=Q，有1000（x+t-8)=500[40-(x-8)2] 12（*）可解得，由于x≥8，t≥0，所以函數表示式為.欲求函數的定義域，按常規思路應由8≤x≤14，即由解出t的范圍，這顯然很繁瑣。

事實上，對于嚴格單調的函數，如果給出了值域，利用單調性就可以求出定義域，而函數在t∈［0，52］上是單調減函數，故當x=8時，t應有最大值，將x=8直接代入等式（*），可方便地求出t=10，而t的最小值顯然為0，故函數的定義域為t10。

對于（2），有8≤x≤10，同理，當x=10時，t最小，將x-10代入（*），可求得t=1，故政府補貼每公斤至少1元。

評注：本例利用嚴格單調函數的定義域與值域關系的可逆性得以解決，其思維的確與常規思維相反，這是我們平時不太注意的，應學會運用。

總之，在數學解題過程中，運用逆向思維可以起到事半功倍的效果，上述舉例說明，只是運用逆向思維解題方法之冰山一角，還需要我們深入地去探討、挖掘，讓這一解決數學問題的銳利武器發揮最大的作用。

（作者單位：甘肅靖遠一中）