基于小波包分析的圖像邊緣檢測

摘要：通常，圖像的邊緣為頻率域的高頻分量。小波分析是一種信號的時間-頻率分析方法，而小波包分析是在小波分析的理論基礎(chǔ)上，將信號的高頻成分分開且可對高頻成分繼續(xù)分解，為信號提供更加精細的分析方法。該文采用基于共軛正交濾波器的小波包分解算法對圖像進行邊緣檢測，實驗表明，這種方法能夠清晰地檢測出圖像的邊緣。

關(guān)鍵詞：邊緣檢測；小波包分析；共軛正交濾波器

中圖分類號：TP391文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1009-3044(2008)32-1174-02

Image Edge Detection Based on Wavelet Packet Analyze

DONG Jie

(Department of Computer Science and Technology， Tongji University， Shanghai 20092， China)

Abstract: Usually， the edge of image is the high frequency of frequency field. Wavelet analyze is a time-frequency signal analyze method. Then Wavelet packet analyze based on wavelet analyze can divide high frequency and low frequency and is a much more precise method of signal analyze. An algorithm of wavelet packet analyze based on conjugate quadrature filter proposed and is applied to images edge detection. Results show that the algorithm can detect the edge of an image clearly.

Key words: edge detection; wavelet packet analyze; conjugate quadrature

1 引言

邊緣檢測的基本問題是檢測精度與抗噪性能之間的矛盾，由于圖像中普遍存在噪聲，而圖像邊緣和噪聲均為頻域中的高頻分量，這給邊緣檢測帶來了困難。傳統(tǒng)的邊緣檢測是采用邊緣檢測算子求解二維實函數(shù)的梯度，然后選擇合適的域值以提取邊緣，這些經(jīng)典的邊緣檢測算子有Sobel，Prewitt ，Canny 等。其中，Sobel和Prewitt邊緣檢測算子是通過對圖像的每一個像素點計算其鄰點灰度的加權(quán)和來檢測邊緣的，這些算子的主要缺點是對噪聲敏感和邊緣定位精度低；Canny邊緣檢測方法是使用拉普拉斯算子，并且使用雙閾值算法檢測和連接邊緣，雖然提取效果好，但很容易產(chǎn)生雙邊緣，并且對噪聲敏感。可以肯定，用單一尺度的邊緣檢測算子不可能檢測出圖像所有的邊緣，為避免在濾除噪聲時影響邊緣檢測的正確性，用多尺度的方法檢測邊緣越來越得到重視。

小波變換具有良好的時頻局部特性及多尺度分析能力[1]適合檢測突變信號，是檢測突變信號強有力的工具，與傅立葉變換相比，小波變換使一種窗口大小固定不變，但其形狀可改變的時頻局部化分析方法，用它來檢測邊緣，可以在大尺度下抑制噪聲，小尺度下精確定位邊緣，為圖像邊緣提取提供了新的思路和新的技術(shù)途徑。小波包分析是從小波分析延伸出來的一種對信號更加細致的分析與重構(gòu)方法。小波包分析不但對低頻部分進行分解，而且對高頻部分作更加細致的刻畫，對信號的分析能力更強。

2 小波包理論

2.1 小波包分析

多分辨分析可以對信號進行有效的時頻分析，但由于其尺度函數(shù)是按二進制變化的，因此在高頻段其頻率分辨率較差，只能對信號的頻段進行指數(shù)等間隔劃分。小波包分解通過把頻帶進行多層次劃分，能夠?qū)Χ喾直媛史治鲋袥]有細分的高頻部分進一步分解，并能夠根據(jù)被分析信號的特征，自適應(yīng)的選擇相應(yīng)頻段，使之與信號頻譜相匹配，從而提高時頻分辨率。

該表達式表明多分辨率分析是按照不同的尺度因子j把空間L2(R)分解為子空間Wj(j∈Z) 的直和。其中Wj為小波函數(shù){?漬j，k}k∈Z的閉包（小波子空間）。進一步對小波子空間Wj按照二進制進行頻率的細分，我們將尺度子空間Vj和小波子空間Wj用一個新的子空間Uj2n統(tǒng)一起來表征。令Uj0=Vj，Uj1=Wj，j∈Z，則正交分解Vj+1=Vj?茌Wj，即可用Ujn的分解統(tǒng)一為 ：

U0j+1=U0j+U1j，j∈Z（2）

定義子空間Unj為函數(shù)un(x)的閉包空間，而Uj2n是函數(shù)u2n(x)的閉包空間，并令un(x)滿足下面的雙尺度方程：

其中g(shù)k=(-1)h1-k，即兩系數(shù)也具有正交關(guān)系。特別地，當(dāng)n=0時，由以上兩式直接得到

式（4）分別為尺度函數(shù)u0(x)和與小波函數(shù)u1(x)的雙尺度方程。利用式（3）與式（4）可以得到如下空間分解：

Unj+1=Uj2n+Uj2n+1

由式（3）與（4）構(gòu)造的序列{un(x)}（其中n∈Z+）稱為由基函數(shù)?漬(x)=u0(x)確定的小波包。

2.2 小波包分解算法

小波包分解算法：由{dlj+1，n}求{dlj，2n}與{dlj，2n+1}。

3 圖像邊緣檢測的小波包分解算法

3.1 正交共軛濾波器

其中*表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。如果低通濾波器{P(w)}滿足（5）或（8），我們稱之為α尺度r重正交共軛濾波器。

3.2 圖像分解

圖像的邊緣對應(yīng)灰度的突變，對應(yīng)分解后的高頻子空間，所以我們采用小波包對圖像分解時，被反復(fù)分解的是高頻子空間，對應(yīng)圖像平滑部分且包含大量能量的低頻子空間不再分解。

下面基于共軛濾波器組對上述高頻子空間進行正交小波包分解，即使用低通濾波器和高通濾波器分別作用于高頻子空間的行和列。經(jīng)小波包分解后，一個高頻子空間將被分解成四個正交子空間的直和，如下所示：

式中的j不僅對應(yīng)被分解子空間所在的層次，也對應(yīng)被分解圖像的尺度，j越大，被分解子空間所在層次越高，被分解子空間的尺度越小；j越小，被分解子空間所在層次月底，被分解子空間的尺度越大，當(dāng)j=0時，對應(yīng)未被分解的原始圖像。下圖是j=2時小波包分解形成的子空間示意圖。圖像經(jīng)小波包分解后，最終形成一個四叉樹結(jié)構(gòu)，樹的總層數(shù)記為J，其大小由邊緣細節(jié)的要求而定。圖像經(jīng)小波包分解后，就能得到小波包分解樹所有端節(jié)點的小波包系數(shù)。

3.3邊緣檢測

正交小波包分解具有方向性，在進行邊緣檢測時，將同一層，同一子空間的LH，HL，HH3個系數(shù)矩陣兩兩相減，將差值分別記為R1j，l，R2j，l，R3j，l，它們分別對應(yīng)第j層第l個子空間中水平，垂直和對角線方向上的灰度的變化，Rij，l的大小對應(yīng)灰度的變化程度，同一層的(i=1，2，3)，其值越大，灰度變化越大，對應(yīng)邊緣越清晰，越小，對應(yīng)邊緣越不清晰，其值為0，說明對應(yīng)的是非邊緣部分。

接下來采用自適應(yīng)閾值法對Rij，l進行閾值化處理，來分別檢測不同尺度下圖像的邊緣。計算方法如下：

其中n是信號采樣長度，J是分解的總層數(shù)，σ是噪聲的標(biāo)準(zhǔn)方差，j是尺度層次。第一步先用2-j/2乘以Rij，l的絕對值，然后用全局閾值 對其進行處理，即將2-j/2乘以Rij，l的絕對值小于閾值的置為0，否則保留原值不變。閾值化處理后，子空間中對應(yīng)平滑部分的Rij，l均變?yōu)?，非0的Rij，l對應(yīng)圖像的邊緣，然后根據(jù)Rij，l求出不同尺度下的邊緣。

4 實驗結(jié)果

本文采用兩組圖片即原始圖與加噪圖分別進行試驗，結(jié)果如下：

由試驗結(jié)果可以看出，由于采用共軛濾波器，低通濾波器對噪聲有一定的抑制，而且圖像邊緣有方向性，在進行小波包分解后，不同方向上的系數(shù)相差較大，噪聲具有隨機性，在進行小波包分解后系數(shù)相差不大，進行閾值處理時正好可以抑制噪聲。

5 結(jié)論

本文采用基于共軛正交濾波器組的小波包分解算法，用于圖像邊緣檢測，實驗結(jié)果證明了其在加噪與非加噪圖像邊緣檢測的有效性，能較好的提取出邊緣，特別是在噪聲存在的條件下，具有很好的噪聲抑制力，具有一定的實用性。

參考文獻：

[1] 張光年，葛慶平.基于Marr Hildreth算子多尺度圖像邊緣檢測[J].首都師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版， 2005，26(3):18-19.

[2] 姜威，陳援非.基于小波包矢量量化圖像壓縮方法[J].山東大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2003，38(2):67-71.

[3] Mallat S，Hwang W L.Singularty.Detection and Processing with Wavelets[J].IEEE Trans on Information Theory，1992，38(2):617.

[5] 康志偉，廖劍利，何怡剛. 基于可操縱小波的多方向圖像邊緣檢測. 系統(tǒng)仿真學(xué)報，2006，18(4):986-989.

[4] Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing[M].Second Edition.楊力華，戴道清，黃文良，等，譯.機械工業(yè)出版社，2002.

[6] 尹平， 王潤生， 自適應(yīng)多尺度邊緣檢測[J].軟件學(xué)報，2000，11(7):990-994.

[7] 孫琰.基于小波變換的圖像邊緣檢測技術(shù)[D].西安：西北工業(yè)大學(xué)，2004.

[8] 張曉威，劉軍，朱磊.多尺度雙正交小波包的構(gòu)造[J].哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報，2006，27(6):927-930.