證題中的證明過程簡略書寫的“度”

我市今年期末初二考試數學試卷中，有這樣一道題：已知：如圖1，AB=AC，DB=DC，求證：AD垂直平分BC.

閱卷過程中，發現有些學生的證明過程是這樣書寫的：

∵AB=AC，

DB=DC，

∴AD垂直平分BC.

對這種證明，閱卷老師產生了兩種截然不同的意見：一種意見認為這種證明只是把已知條件和求證的結論重寫一遍，根本看不出證題思路，另一種意見則認為說出了AB=AC，DB=DC，根據線段中垂線定理的逆定理，就有點A、D都在線段BC的垂直平分線上的結論，當然AD垂直平分BC了，中間的過程可以省略.

在以往的中考閱卷中，也曾出現過類似爭議.究竟證明過程簡略書寫有沒有個適當的“度”或一般的要求呢?本文想就這個問題結合當前的教材談點個人的淺見.

一、三段論法的完全式與簡略式

從理論上講，推理論證一個定理的過程，就是根據邏輯上的三段論法，以這個定理以前的理論為大前提，以這個定理的條件為小前提，推導出這個定理結論的過程.

例如，要證明方程x²-x-k²=0必有兩個不相等的實根(k為實數)，采用三段論法的完全形式應該這樣敘述證明過程：

因為一元二次方程的根的判別式Δ＞0時，方程必有兩個不相等的實根(大前提)，

現在一元二次方程x²-x-k²=0的判別式Δ=1+4k²＞0(小前提).

所以原方程必有兩個不相等的實根(結論).

“為了敘述簡潔，常常采用簡略形式，即只寫出大前提或小前提和結論，甚至只寫結論，而把大小前提都略去，這叫做簡略三段論.”(《初等幾何研究》P61，江蘇省高師數學教育研究組編)那么，利用簡略式上面的證明可敘述為：

∵Δ=1+4k²＞0，

∴方程x²-x-k²=0必有兩個不等實根.

這種簡略式，在壽望斗先生編著的《邏輯與數學教學》一書中也是得到認可

的，只不過壽先生把它叫做省略式而已．現行教材《幾何》課本中采用的也是這

種形式.

但是，對于一些較復雜的定理的證明，往往需用若干個三段論才能完成，由

若干個三段論才能完成的三段論(復合三段論)的簡略式應該簡略到什么程度呢?

二、復合三段論的簡略式的簡略“度”

綜觀教材上的簡略式大致可分為以下三種類型：

1.省略大前提，且前一個三段論的結論作為后一個三段論的小前提時重復

寫出型(使用推出符號書寫的證明過程也屬于這種類型).

例如：在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，求證：△ADC≌△CBA.

證明：∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB.

在△ADC和△CBA中，

AD=CB，∠DAC=∠ACB，AC=CA.

∴△ADC≌△CBA.

這里∠DAC=∠ACB是第一個三段論的結論，但作為第二個三段論的小前提時，又

重新寫出來了.

2.省略大前提，且前一個三段論的結論作為后一個三段論的小前提時不重

復寫出型.

例如：在△ABC中，D為BC的中點，且DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，且DE=DF，求證：AB=AC.

證明：在Rt△DBF和Rt△DCE中，

DB=DC，DF=DE，

∴Rt△DBF≌Rt△DCE.

∴∠B=∠C.

∴AB=AC.

這里的每一個三段論的大前提都省略了.Rt△DBF≌Rt△DCE既是第一

個三段論的結論，又是第二個三段論的小前提，但作為第二個三段論的小前提時

就沒有重復寫出.∠B=∠C是第二個三段論的結論，也是第三個三段論的小前

提，但作為小前提時也沒重復寫出.

3.將前一個三段論的結論直接作為后一個三段論的小前提型.

例如：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，BC=2AD，且F為BC的中點，求證：S四邊形AFCD=S△ABC.

證明：

∵△ABF≌△CAD，

∴S△ABF=S△CAD.

又∵S△ABC=2S△ABF，

S矩形ADCF=2S△ADC，

∴S△ABC=S矩形ADCF，

這里△ABF≌△CAD是某個三段論的結論，但這里都直接作為后一個三段論的小前提給出了.后面第二個“∵”號之后的兩式也是如此.

用以上的范例為依據，我們是否可以對由若干個三段論來敘述的簡略式的簡略“度”作這樣的描述：若對某個定理的證明需要用若干個三段論來完成，書寫時對所有三段論的大前提都可以省略，當前一個三段論的結論作為后一個三段論的小前提時，可以省略不寫；對于較復雜的證明題，如果證明過程中的某個三段論的結論比較顯然，可以作為后一個三段論的小前提直接給出(如3).

用這個“度”來衡量一下本文開始時的那個問題，可以發現：在那個本來只需要三個三段論就能完成的證明過程中，學生省略了第一、二兩個并列三段論的大前提和結論(結論一般是不能省略的)，也省略了第三個三段論的大、小前提，確實令人難以看出證題思路，以不給分或適當扣分為宜.

三、對證明過程書寫錯誤的反思與建議

目前，學生在證明中的問題很多，最主要的有以下三個方面：1.邏輯混亂；2.方向不明；3.跳躍性過大.造成這些問題的原因是多方面的，但不容置疑，學生缺少用三段論法推理的經驗是直接原因之一．他們從課本上見到的都是一些簡化的內容，老師對他們的訓練也都是簡化的訓練，這種以簡化的內容進行簡化的訓練對培養學生正確證明的能力是很難奏效的．所以壽望斗先生在他的著作中嚴肅地指出：“推理采用省略式時，并不是常?？梢钥闯鏊恼_與否.只有把它恢復成完整的三段論式，才能幫助我們發現推理中的錯誤．因此，把省略式恢復為完全式，也是一個重要的邏輯方法.必須教導學生學會這種方法．等到他們已經熟悉以后，再采用通常的省略形式.”(《邏輯與數學教學》P88).為此，我向各位同行建議；教學中一定要采取一些措施，體現這種“由繁到簡”、“由簡到繁”的過程，以此提高學生正確書寫證明過程的能力.