實際問題中利用二次函數求最值值的三種類型

利用二次函數解決實際問題是中考的熱點題型，該題型常設計成從實際問題情境中確定二次函數的表達式，再利用二次函數的性質求最值.下面以2007年的中考試題為例來說明求最值的三種類型．

一、利用配方法或公式法求最值

【例1】 (2007年，青島)某公司經銷一種綠茶，每千克成本為50元．市場調查發現，在一段時間內，銷售量w(千克)隨銷售單價x(元／千克)的變化而變化，具體關系式為：w=-2x+240．設這種綠茶在這段時間內的銷售利潤為y(元)，解答下列問題：

(1)求y與x的關系式；

(2)當x取何值時，y的值最大?

(3)如果物價部門規定這種綠茶的銷售單價不得高于90元／千克，公司想要在這段時間內獲得2250元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元?

解：(1)y=(x-50)#8226;w

=(x-50)#8226;(-2x+240)

=-2x²+340x-12000，

∴y與x的關系式為：

y=-2x²+340x-12000．

(2)y=-2x²+340x-12000

=-2(x-85)²+2450，

∴當x=85時，y的值最大．

(3)當y=2250時，可得方程

-2(x-85)²+2450=2250．

解這個方程，得x₁=75，x₂=95．

根據題意，x₂=95不合題意，應舍去．

∴當銷售單價為75元時，可獲得銷售利潤2250元．

評注：建立二次函數關系式后，利用配方法確定二次函數的頂點坐標，即可求出函數的最大值.

二、利用自變量的實際意義求最值

【例2】 (2007年，南通)某商場將每臺進價為3000元的彩電以3900元的銷售價售出，每天可銷售出6臺．假設這種品牌的彩電每臺降價100x(x為正整數)元，每天可多售出3x臺．(注：利潤=銷售價-進價)

(1)設商場每天銷售這種彩電獲得的利潤為y元，試寫出y與x之間的函數關系式；

(2)銷售該品牌彩電每天獲得的最大利潤是多少?此時，每臺彩電的銷售價是多少時，彩電的銷售量和營業額均較高?

解：(1)y=(3900-100x-3000)(6+3x)

=-300x²+2100x+5400.

(2)y＝-300x²+2100x+5400

=-300(x-3．5)²+9075．

因x為正整數，∴當x=3或4時，y=9000.

當x=3時，單價為3600元，每天銷售15臺，營業額為54000元；

當x=4時，單價為3500元，每天銷售18臺，營業額為63000元.

∴最大利潤是9000元，此時單價是3500元.

評注：根據頂點坐標，當x=3．5時，y取得最大值.但由于已知自變量x為正整數，所以取x=3或4，當x=3或4時，計算出彩電的銷售量和營業額，比較得出結論.

三、利用函數的增減性求最值

【例3】 (2007年，貴陽)某水果批發商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規定每箱售價不得高于55元，市場調查發現，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱．

(1)求平均每天銷售量y(箱)與銷售價x(元／箱)之間的函數關系式；

(2)求該批發商平均每天的銷售利潤w(元）與銷售價x(元/箱）之間的函數關系式；

(3)當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

解：(1)y=90-3(x-50)，化簡得：

y=-3x+240.

(2)w=(x-40)(-3x+240)

=-3x²+360x-9600．

(3)w=-3x²+360x-9600．

∵a<0，∴拋物線開口向下．

當x=-b/2a=60時，w有最大值．

又x<60時，w隨x的增大而增大，

∴當x=55元時，w的最大值為1125元．

∴當每箱蘋果的銷售價為55元時，可以獲得1125元的最大利潤．

評注：本題自變量x最大取值是55，而利用公式，當x=60時，w有最大值，x的取值超出了自變量的取值范圍，所以可利用二次函數的增減性來求得最大值.

實際問題中二次函數的最值受自變量取值范圍的限制，當頂點的橫坐標在這個范圍時，可直接利用頂點坐標來求；當頂點的橫坐標不在這個范圍時，要根據函數的增減性，求自變量取值范圍兩端點所對應的函數值為該函數的最值；求最值時，還要根據自變量的實際意義，如商品數量只能為整數、人數為整數等，通過計算比較才能確定最值.