一道課本題的探究與思考

新課標(biāo)的基本理念中提出，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要采用有利于形成積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，為學(xué)生形成積極主動的、多樣的學(xué)習(xí)方式創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣，發(fā)展創(chuàng)新意識.下面是課本中的一個案例．

【題目】 (蘇教版必修3第95頁例3)將一枚骰子先后拋兩次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，問：

(1)共有多少種不同的結(jié)果?

(2)兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的結(jié)果有多少種?

(3)兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率是多少?

這道題是課本在古典概型中安排的一道典型例題，把它作為探究的起點(diǎn)，進(jìn)一步思考，可以最大地發(fā)揮效益.

問題1 把條件改為“一次拋擲兩個骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù)”，結(jié)果又怎樣呢?

通過問題1可對骰子作標(biāo)記(1號，2號)，體會其等效性.

問題2 出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是一奇一偶的概率是多少?

這是學(xué)生易錯的一個問題，且跟放回摸球問題實質(zhì)上是一類題

(一個袋中裝有大小相同的6個球，其中3個紅球3個白球，從中有放回的摸兩次，則摸出的是一紅一白的概率是多少?)

這里可類比構(gòu)造如上圖表，第一次奇、第二次偶的有3×3＝9種；第一次偶、第二次奇有3×3＝9種.概率P=9+9/36＝1/2．

問題3 點(diǎn)數(shù)之和是幾的概率最大?

由圖可知恰好中間一個數(shù)7的概率最大，是16，不僅如此，點(diǎn)數(shù)之和為2、3、…、12的概率也是有規(guī)律地出現(xiàn)的.

問題4 如果一次擲3個骰子，點(diǎn)數(shù)之和分別是3、4、…、18，哪個數(shù)出現(xiàn)的概率最大呢?

學(xué)生有的猜10，有的猜11，只有少數(shù)學(xué)生通過畫樹型圖求出概率是27/216＝1/8.

問題5 如果一次擲4個骰子，點(diǎn)數(shù)之和是幾的概率最大?你能求出概率是多少嗎?

學(xué)生知道點(diǎn)數(shù)之和為4、5、…、24，共21個數(shù)，應(yīng)該是中間數(shù)14的概率最大，但想要畫圖枚舉幾乎不可能.有學(xué)生想到這本質(zhì)是一個四元不定方程根的個數(shù)問題，即x₁+x₂+x₃+x₄=14，其中x_i∈{1，2，3，4，5，6}，但解這個方程很困難.

經(jīng)過分析，發(fā)現(xiàn)可分別令x₁=1，2，3，4，5，6，分類化為六個x₂+x₃+x₄=13，12，11，10，9，8三元方程去解，進(jìn)一步可轉(zhuǎn)化為二元方程去解.說明有前面的結(jié)果可推出后面的情況.經(jīng)過驗證發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

1.(兩個骰子)點(diǎn)數(shù)之和為2、3、4、…、12的種數(shù)分別有1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1.

2.(三個骰子)點(diǎn)數(shù)之和為3、4、5、…、18的種數(shù)分別有1、1+2、1+2+3、1+2+3+4、1+2+3+4+5、1+2+3+4+5+6、2+3+4+5+6+5、3+4+5+6+5+4、4+5+6+5+4+3、5+6+5+4+3+2、6+5+4+3+2+1、5+4+3+2+1、4+3+2+1、3+2+1、2+1、1，即有1、3、6、10、15、21、25、27、27、25、21、15、10、6、3、1種.中間兩個數(shù)10、11的概率一樣都是27216.

3.(四個骰子)點(diǎn)數(shù)之和為4、5、6、…、24的種數(shù)分別也有上面規(guī)律：1、1+3、1+3+6、1+3+6+10、1+3+6+10+15、1+3+6+10+15+21、3+6+10+15+21+25、…、6+3+1、3+1、1，即有1、4、10、20、35、56、80、104、125、140、146、140、125、104、80、56、35、20、10、4、1，最中間一個數(shù)14的概率最大，是146/6⁴，分子恰好是最中間六個數(shù)的和.

……

一直往下推導(dǎo)，是不是和楊輝三角的形式相類似呢？