究竟能作出多少個這樣的圓

義務教育課程標準實驗教科書（人教版）九年級數學上冊第112頁第16題：如圖1，已知⊙O₁，⊙O₂.，作一個圓，使它與這兩個圓都相切.你能作出多少個這樣的圓？與同伴交流.（以下簡稱人教版）

無獨有偶，義務教育課程標準實驗教科書（北師大版）九年級數學上冊第130頁第1題：如圖2，已知⊙O₁，⊙O₂，作一個圓，使它與這兩個圓都外切.（以下簡稱北師大版）

顯然，北師大版的要簡單些，指出與這兩個圓都外切，而人教版的只說相切，因而要全面考慮.因為兩圓相切，包括外切和內切，因而要分類討論，并且是三個圓之間的相切關系，這樣看來北師大版的題目只是人教版的題目的一種情況.

不妨設所要作的圓為⊙O₃，半徑為r₃，⊙O₁，⊙O₂的半徑分別為r₁，r₂，現把人教版的各種情況列舉如下.

一、⊙O₃與⊙O₁，⊙O₂均外切

如圖3，連結O₁，O₂，交⊙O₁于點A，交⊙O₂于點B，再以AB為直徑做⊙O₃，這是大家最容易想到的做法.難道只有這一個符合條件的圓嗎？顯然不是.由圖可知，任意給一條線段r₃，只要長度不小于線段AB長度的一半，然后以O₁為圓心，r₁+r₃為半徑畫弧，再以O₂為圓心，r₂+r₃為半徑畫弧，兩弧相交于點O₃，最后以O₃為圓心，r₃為半徑畫圓，⊙O₃就是符合條件的圓（如圖4）.由于r₃的長度有無數種，以及圓的對稱性可知，在連心線的兩邊對稱的有無數個符合條件的圓.

二、⊙O₃與⊙O₁、⊙O₂均內切

如圖5，連結O₁，O₂，交⊙O₁于點A，交⊙O₂于點B，再以AB為直徑做⊙O₃.由圖可知，任意給一條線段r₃只要長度不小于線段AB長度的一半，然后以O₁為圓心，r₃-r₁為半徑畫弧，再以O₂為圓心，r₃-r₂為半徑畫弧，兩弧相交于點O₃，最后以O₃為圓心，r₃為半徑畫圓，⊙O₃就是符合條件的圓（如圖6）.由于r₃的長度有無數種，以及圓的對稱性可知，在連心線的兩邊對稱的有無數個符合條件的圓.

三、⊙O₃與⊙O₁內切，與⊙O₂外切

如圖7，連結O₁，O₂，交⊙O₁于點A，交⊙O₂于點B，再以AB為直徑做⊙O₃.由圖可知，任意給一條線段r₃，只要長度不小于線段AB長度的一半，然后以O₁為圓心，r₃-r₁為半徑畫弧，再以r₂為圓心，r₂+r₃為半徑畫弧，兩弧相交于點O₃，最后以O₃為圓心，r₃為半徑畫圓，⊙O₃就是符合條件的圓(如圖8).由于r₃的長度有無數種，以及圓的對稱性可知，在連心線的兩邊對稱的有無數個符合條件的圓.

四、⊙O₃與⊙O₁外切，與⊙r₂內切

如圖9，連結O₁，r₂，交⊙O₁于點A，交⊙r₂于點B，再以AB為直徑做⊙O₃.由圖可知，任意給一條線段r₃，只要長度不小于線段AB長度的一半，然后以O₁為圓心，r₃+r₁為半徑畫弧，再以r₂為圓心，r₃-r₂為半徑畫弧，兩弧相交于點O₃，最后以O₃為圓心，r₃為半徑畫圓，⊙O₃就是符合條件的圓（如圖10）.由于r₃的長度有無數種，以及圓的對稱性可知，在連心線的兩邊對稱的有無數個符合條件的圓.

通過前面的分類討論，你應該清楚究竟有多少個這樣的圓了吧：給定r₃時，在每種情況下符合條件的圓應該有一個或兩個；而當r₃不確定時，符合條件的圓的個數有無數個.以上是針對⊙O₁，⊙r₂外離時三個圓之間的外切和內切關系進行的討論，如果已知條件中的⊙O₁，⊙r₂的關系改變，而其他條件不變又會怎樣呢？由兩圓之間的位置關系可得到以下變式：

變式一：把題目中⊙O₁與⊙r₂外離變為外切；

變式二：把題目中⊙O₁與⊙r₂外離變為相交；

變式三：把題目中⊙O₁與⊙r₂外離變為內切；

變式四：把題目中⊙O₁與⊙r₂外離變為內含.

有了前面的基礎，上述四個變式應該不太難了吧！自己不妨一試.一般規律已掌握，特殊情況便不在話下了，你能很快作出下面的練習嗎？

練習題：已知⊙O₁與⊙r₂外切，半徑分別為1和3，那么半徑為5且與⊙O₁，⊙r₂都相切的圓共有（）.

A.3個 B.4個 C.5個 D.6個

解析：綜合前面的討論可知屬于變式一的情況.應選D.