一道妙題
2008-12-31 00:00:00方丞
中學教學參考·理科版 2008年7期
浙江省諸暨市2008年保送重點高中的選拔試卷中，有一道幾何探究題（第23題）：
為了探究正多邊形的內切圓和外接圓的面積比公式，小敏首先想到從最簡單的情況入手：
（1）先求等邊三角形的內切圓與外接圓的面積比；（圖1）
（2）求正方形的內切圓與外接圓的面積比；（圖2）
（3）從上兩例的做法中，小敏體會到：若記正n邊形的內切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，則正n邊形的內切圓與外接圓的面積比可轉化為求______∶_____，而這兩者之比在直角三角形中可用三角函數來求得，由此小敏得到n邊形的內切圓與外接圓的面積比是_______.
分析：這道幾何探究題，巧妙地將正多邊形的內切圓和外接圓的面積比與三角函數知識綜合起來，用三角函數的形式來表達同一正多邊形的內切圓和外接圓的面積比.
解：（1）如圖1，連結OA、OF，則等邊三角形ABC的內切圓和外接圓的面積S′和S分別為：S′=π#8226;OF2，S=π#8226;OA2，
∵∠BAC=60°，
∴∠OAF=30°.
在Rt△AOF中，
