數學選擇題的結構及其常用解題方法舉例

選擇題作為一種標準化試題，在各類測試中均占有相當的比重．一次測試，尤其是中考的成功與否和正確解答選擇題密切相關．但是，現行數學課標就選擇題的解法既無典型范例，又無規范練習，教材中選擇題的出現只有星星點點，而在考試中出現選擇題的分值卻占據總分的25%~40%．許多學生因找不到簡捷的選擇題解法，不僅花費了大量的時間，而且錯誤率甚高，嚴重影響著考生的成績．近年來，通過許多師生的共同努力，在對選擇題的研究上，已取得了有效突破，這些方法在考試中的運用，不僅提高了學生的解題速度，更主要的是使學生有章可尋，提高了學生的解答準確度．本文試從選擇題的一些常見解法入手，就如何正確認識，辨析選擇題，提高學生分析問題和解決問題的能力談幾點看法．

一、選擇題的結構

選擇題常由解題要求、題干（題設）和題支（選項）組成．解題要求是指解答選擇題的指示語，如單選、多選等．題干是指每個選擇題的條件，它可以由一個問句或一個半陳述句構成，題支是指備選答案，常有應選答案和迷惑答案組成，一般有四個選項，至少有一個正確的答案，這個正確的答案可叫優支，而不正確的答案可叫干擾支或惑支．數學中的選擇題如沒有特別說明，都是“四選一”，即有四個選項，其中有唯一的優支，其余的都是干擾支，但在近年的中考中如湖北的黃岡等地也出現了多選題．

例1：（2008年河南省）如圖1，陰影部分組成的圖案既是關于x軸成軸對稱的圖形又是關于坐標原點O成中心對稱的圖形．若點A的坐標是（1，3），則點M和點N的坐標分別是（）.

A．M（1，-3），N（-1，-3） B．M（-1，-3），N（-1，3）

C．M（-1，-3），N（1，-3）D．M（-1，3），N（1，-3）

解析：從問題知點A和點M關于原點對稱，點A和點N關于x對稱．為了從4個選擇支中選出優支，需要明確關于原點對稱和關于x軸對稱的點的坐標特征，即關于原點對稱橫坐標和縱坐標均互為相反數；關于x軸對稱橫坐標不變，縱坐標互為相反數，所以應選擇C．而其余3個選項都是干擾支，它們似對非對，表面上看起來差不多，而意義相關甚遠，（1，-3）表示的點和A點關于x軸對稱，（-1，-3）表示的點和A點關于原點對稱，（-1，3）表示的點和A點關于y軸對稱．

從上面的例子可以看出，一個選擇題的4個選擇項總是真偽混雜，疑似之處甚多，3個干擾支從不同的角度迷惑著優支的選出．若對基本概念和基礎知識理解不清，掌握不透徹，基本的數學思想和方法不熟練，就會很容易受干擾支影響，從而作出錯誤判斷．這些干擾支就像一口口陷阱，真假難辨，它們似乎是，似乎又不是，學生若明辨能力不強，就可能跳進陷阱．因此，通過解選擇題，可以澄清學生一些似是而非的認識，區分一些概念之間的聯系與區別，更進一步掌握基本知識和基本方法

二、解選擇題的常用方法

方法1：直接法

直接法是解選擇題的一種最常用、最基本的方法．它是從選擇題的題設條件入手，根據學過的定義、公式、公理、定理、法則進行正確的推理，求出結果得出結論，然后與各選擇支比較，從四個選項中選出與已得出結論一致的正確答案的方法．其優點是解題自然，不受選擇支的影響，運用數學知識，通過綜合法直接得出正確的結論．缺點是有些題的計算和推理冗長，繁雜，要消耗測試者大量的時間和精力，甚至有些題不能用直接法來解．

例2：（2008年上海市）如圖2，從圓外一點P引圓O的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B．如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的長是（）.

A．4B．8

解析：此題主要考查切線長定理和等邊三角形的定義，根據切線長定理知，PA＝PB，又∠APB＝60°，知△ABP為等邊三角形，所以弦AB＝PA＝8，故選B．

方法2：排除法（也叫篩選法或淘汰法）

所謂排除法就是從題設條件入手，結合選項，通過觀察、比較、猜想推理和計算，進行逐一排查，從四個選項中把最不正確的答案一一淘汰，最后得出正確答案的方法．其優點是可通過觀察、比較、分析和判斷，進行簡單的推理和計算出正確的答案，特別對用直接法解之較困難而答案又模棱兩可者更有效．其缺點是（1）若對隱含條件挖掘不深或抓不住問題本質特征時，在排查過程中容易出現遺漏；（2）易受干擾支的影響，做出錯誤判斷．

例3：（2008年廣西省桂林市）2008年5月12日，四川汶川發生8.0級大地震，我解放軍某部火速向災區推進，最初坐車以某一速度勻速前進，中途由于道路出現泥石流，被阻停下，耽誤了一段時間，為了盡快趕到災區救援，官兵們下車急行軍勻速步行前往，下列是官兵們行進的距離s（千米）與行進時間t（小時）的函數大致圖像，你認為正確的是（）.

解析：此題可逐個判斷排除.A圖表示我解放軍某部火速向災區推進，最初坐車以某一速度勻速前進，中途由于道路出現泥石流，被阻后沒有停下，只是勻速前進的速度比開始速度要慢，與題意不符；B圖表示我解放軍某部火速向災區推進，最初坐車以某一速度勻速前進，中途由于道路出現泥石流，被阻停下，耽誤了一段時間，后又以一定的速度返回，與題意不符；D圖表示我解放軍某部火速向災區推進，最初坐車以某一速度勻速前進，中途由于道路出現泥石流，被阻停下，耽誤了一段時間，后又以開始時的速度繼續前進，這與人的速度應比車的速度慢這一實事不符，而C圖即表示出了我解放軍某部火速向災區推進，最初坐車以某一速度勻速前進，各中途由于道路出現泥石流，被阻停下，耽誤了一段時間，又準確地表示出了官兵心系災區，為了盡快趕到災區救援，下車急行軍勻速步行前往這一實事，故選C．

方法3：驗證法（或叫擇擾驗證法）

當某些問題如方程、函數的一些問題較復雜時，可采用逆向思維的思路，即不求原題的結果，改成檢驗選擇支的正確性，把選擇支代入已知條件中使之問題簡化，從而迅速找到優支的方法稱為驗證法．它要求測試者先分析題意，結合選擇支，再依據與問題有關的數學知識，把自己經過分析和判斷，認為最有可能的正確選項代入檢驗，若驗證正確，即可直接選取，其余選項為干擾支可不再驗證；若不正確，再驗證第二可能選項，依次類推，若驗證了3個均不正確，第4個不必驗證，就可選取，若選項中有包含項，在驗證被包含項成立后，還需驗證包含項；驗證被包含項不成立時，就否定了包含項．其優點是，題目條件把握準確，分析判斷有據，一次到兩次的驗證就能得到正確答案，方法簡便，準確率高；缺點是，若分析判斷不準確，就需要驗證達3次，計算和推理量大．

例4：（2008年湖北省隨州市）若等腰三角形中有一個角等于50°，則這個等腰三角形的頂角的度數為（）.

A．50° B．80°

C．65°或50°D．50°或80°

分析：D選項包含A選項和B選項，所以應首先對A選項和B選項進行驗證，這兩個選項的正確與否，決定著D選項該不該選.通過驗證A選項和B選項均符合題意，故選D.

例5：（2008年福建省福州市）已知三角形的兩邊長分別為4cm和9cm，則下列長度的四條線段中能作為第三邊的是（）.

A．13cmB．6cmC．5cmD．4cm

分析：本題可通過將選項與已知三角形的兩邊長進行比較，驗證是否滿足定理“三角形兩邊之和大于第三邊”及其推論“三角形兩邊之差小于第三邊”即可，通過驗證知此題選B．

方法4：取特殊值法

對于比較抽象，又具有一般性的結論，判斷時較難，可在符合條件的允許值范圍內，用某些特殊的數值替代題目的字母或一項，然后再做出特殊情況下的判斷，類推出一般性結果，并判斷出優支的方法叫取特殊值法．其優點是簡單方便，減少了繁雜的計算和推理；缺點是易把不合題目要求的值代入計算，從而導致錯誤的結論．

例6：（2008年江蘇省揚州市）若關于x的一元二次方程ax2+2x-5=0的兩根在0與1之間（不含0和1），則a的取值范圍是（）.

A. a＜3B.a＞3 C.a＜-3D.a＞-3

解析：對于A選項和D選項，可取a=0，知方程化為2x-5=0，與題目條件關于x的一元二次方程不符，故舍去；對于C選項，可取a=4，由于二次項系數和常數項異號，故方程一定有兩個實數根，且一個根為正數，一個根為負數，故舍去，從而知本題選C．

方法5：圖形法（或叫數形結合法）

有些選擇題計算、推理和判斷比較復雜，條件和結論似是而非，但這樣難作判斷的題目，一般能畫出圖形和圖像來描述，從而借助圖形、圖像來進行直觀判斷，或結合題意和圖像、圖形進行簡單的計算和推理，找出正確答案．其優點是形象直觀，易于把復雜的計算、推理和判斷簡單化；缺點是把問題圖形和圖像化，需要學生有很強的數學基礎知識和空間想象能力，容易造成一遇到較復雜的計算、推理和判斷問題時，學生總在想能不能通過一個簡單的圖像和圖形法進行解決，有時，反而適得其反，耽誤了正常的計算和推理或尋找其他合適辦法的時間，所以圖形法應建立在應有數學能力的基礎上，平時要加強訓練，以求考試時能靈活應用．

例7：(2008年陜西省)已知二次函數y＝ax2＋bx＋c（其中a＞0，b＞0，c＜0），關于這個二次函數的圖像有如下說法：①圖像的開口一定向上；②圖像的頂點一定在第四象限；③圖像與x軸的交點至少有一個在y軸的右側．以上說法正確的個數為（）.

A．0B．1 C．2D．3

分析：此題較抽象，可先畫出符合條件的圖形：據據a＞0知開口向上，據-＜0，知對稱軸在y軸左側，再有c＜0，知圖像與y軸交點的位置在y軸負半軸，據此，畫出符合要求的二次函數圖像（圖略），結合圖像可知，該二次函數圖像開口向上，頂點在第三象限，與x軸有兩個交點，一個在x軸正半軸，一個在x軸負半軸，故本題應選C．

方法6：特例法（或叫特圖法）

利用符合題設條件的某個特殊圖形代替有關的一般圖形，進行演繹推理，以達到判斷各個選擇支正確或錯誤的目的，這種解答選選擇題的方法稱為特例法．特例法的關鍵在于尋找特例，即尋找的特殊圖形必須符合題設的要求，又有利于對問題的分析和解決．其優點是利用簡單、特殊的圖形，減少了繁雜的計算和推理；缺點是易把題目特殊成不合題目要求的圖形，從而導致錯誤的結論．

例8：（2008年山東省濟南市）如圖3：等腰直角△ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角頂點A在直線y＝x上，其中A點的橫坐標為1，且兩條直角邊AB、AC分別平行于x軸、y軸，若雙曲線y＝（k≠0）與△ABC有交點，則k的取值范圍是（）.

A．1＜k＜2B．1≤k≤3

C．1≤k≤4D．1≤k＜4

解析：根據題目條件可求出A（1，1），B（3，1），C（1，3），本題若用直接法求k的取值范圍，要分雙曲線與邊AB、AC、BC有交點3種情況來計算，計算量比較大．特例法較好地解決了這一問題，我們取雙曲線與邊AB、AC、BC有交點的特殊情況來計算：當雙曲線過點A時，可計算出k＝1，當雙曲線過點B時，同時過點C，可計算出k＝3，答案A可排除，但此時，我們發現當計算出k＝1到計算出k＝3，雙四線向右移動的過程中始終沒有與邊BC相交，答案B不完全，被排除，是選C還是選D，我們再取特殊點，由于直線y＝x與BC的交點坐標易看出為（2，2），而雙曲線過此點時，可算出k＝4，故選C．

方法7：轉化法

轉化法是指通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，借助某些性質、公式或已知條件將問題通過變換加以轉化，并選擇運用恰當的數學方法加以變換，從而達到將復雜化為簡單，將未知轉化為已知，將抽象轉化為具體的一種解題方法．

例9：（2008年遼寧省沈陽市）一次函數y＝kx＋b的圖像如圖4所示，當y＜0時，x的取值范圍是（）.

A．x＞0B．x＜0

C．x＞2D．x＜2

解析：本題可直接根據題目條件求出一次函數y＝kx＋b的解析式為y＝-x＋3，再由y＜0時，得-x＋3＜0，從而將問題轉化為解不等式的問題求出x的范圍.但這種做法計算量有些大，問題中y＜0應轉化為函數的值小于零，對于一次函數y＝kx＋b的圖像來說，應是x軸下方的圖像，從圖中知，此時x＞2，故選C.雖然此題的兩種解法都用到了轉化的數學方法，但難易程度依然不同．

方法8：估算法

估算法適用于帶一定計算因素的選擇題，是通過對數據進行粗略、近似的估算，從而確定正確答案的一種解題方法．這類考題主要不在“數”，而在“理”，不追求數據精確，而追求方法正確．采用“估算”的方法可以忽略次要因素，抓住問題的本質，以達到快速求解的目的．

例10：（2008年黑龍江省哈爾濱市）如圖5，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC邊中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，則線段CN的長是（）．

A．3cmB．4cm

C．5cmD．6cm

解析：本題可通過在Rt△CEN中運用勾股定理求出線段CN的長，但運用估算的方法會使該題更簡單：由于點E是BC的中點，所以EC＝4cm，在Rt△CEN中，由于EN是斜邊，所以EN＞EC，即EN＞4 cm，又EN＝DN，而DN＋CN＝8 cm，可知CN＜4 cm，故選A．

方法9：觀察法

觀察法是指通過觀察題目中數、式的變化規律，條件與結論之間的關系，題目的結構特點及圖形的特征，從而發現題目中數量關系或變化特征，選出正確答案的種解題方法．在解答數學題時，必須先觀察，有時根據需要，還要做出數學模型便于觀察．觀察是基礎，是發現問題、解決問題的首要步驟．例如整體代入法，就是通過觀察題目中數、式的變化規律，從而發現題設中的某些部分可以作為一個整體，采用換元或代入的方法解決，從而使問題得到簡化．

例11：（2008年北京市）如圖6，已知O為圓錐的頂點，M為圓錐底面上一點，點P在OM上．一只蝸牛從P點出發，繞圓錐側面爬行，回到P點時所爬過的最短路線的痕跡如右圖所示.若沿OM將圓錐側面剪開并展開，所得側面展開圖是（）.

解析：本題中，一只蝸牛從P點出發，繞圓錐側面爬行，回到P點時所爬過的最短路線的痕跡是關鍵，根據“兩點之間，線段最短”知，蝸牛從P點出發，最后又回到P點，走的應該是一條線段，據此，通過觀察四個選項，只有C、D符合，再進一步觀察C、D兩個選項，可以發現沿OM將圓錐側面剪開并展開后，P點到點O的距離應相等，據此應選D.另外，解答本題最好的辦法是制作一個圓錐，在圓錐上大致畫出蝸牛從P點出發，繞圓錐側面爬行，回到P點時所爬過的最短路線的痕跡，然后沿OM將圓錐側面剪開并展開，觀察和哪個選項一致．這種動手操作的實踐能力，也是本題考查的初衷．

方法10：聯想構造法

所謂聯想構造法就是根據題設和結論所具有的性質特征構造出滿足條件和結論的數學模型，借助于數學模型來解決數學問題的一種方法.這種借用一類問題的性質來研究另一類問題的思維方法在解數學問題時常常能起到意想不到的效果．

例12：（2008年湖北省武漢市）下列命題：①若a＋b＋c＝0，則b2－4ac≥0； ②若b＞a＋c則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數根；③若b=2a＋3c，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數根；④若b2-4ac＞0，則二次函數的圖像與坐標軸的公共點的個數是2或3.其中正確的是（）.

A.只有①②③ B.只有①③④

C.只有①④ D.只有②③④．

解析：對于①可聯想到x＝1時，a＋b＋c＝0，因此a＋b＋c＝0，可知方程ax2＋bx＋c＝0一定有一個根x＝1，故①正確；對于②條件b＞a＋c可變為a－b＋c＜0，可聯想到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有無實數根就是二次函數y＝ax2＋bx＋c與x軸有無交點，對于y＝ax2＋bx＋c當x＝－1時，可知y＝a－b＋c＜0，故二次函數y＝ax2＋bx＋c當 x＝－1時所對應的點在第三象限，當a＜0時，只要頂點在x軸下方，從畫出的y＝ax2＋bx＋c的大致圖像可知與x軸無交點，故②錯誤；對于③判定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的個數，聯想到根的判別式即可解決：b2-4ac＝（2a＋3c）2－4ac＝4a2＋9c2＋8ac＝2a2＋2（a＋2c）2＋c2＞0，故有兩個不相等的實數根；對于④b2－4ac可聯想到它通常與一元二次方程根的情況或拋物線與x軸交點的個數有關，可知當b2－4ac＞0時，方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數根，即二次函數y=ax2＋bx＋c與x軸有兩個交點，故④正確，從而選B．

以上列舉了解選擇題的十種常見方法，但真正在解選擇題的過程中，很多辦法都是相通的，有的選擇題只能用一種方法來選，有的選擇題可用幾種方法來選，而有的題是幾種方法的聯合運用．

例12：（2008年山西省）如果關于x的一元二次方程k2x2－(2k＋1)x＋1=0，有兩個不相等的實數根，那么k的取值范圍是（）.

分析：一般思路應求出方程根的判別式，根據方程有兩個不相等的實數根，根的判別式應大于0，得出一個關于k的不等式，從而求出k＞-，再結合一元二次方程的二次項系數不為0，知 k≠0，故選B．這種直接法會在計算上浪費大量時間，較好的辦法是使用取特殊值法和排除法：首先根據k≠0，排除A和C選項，答案在B和D中選，再根據方程有兩個不相等的實數根，根的判別式應大于0，不帶等號，排除D選項，故選B ．

從以上的解答可以看出，該題既可以運用直接法，又可采用取特殊值法和排除法，可見選擇題解法的靈活多樣性．但是，對于學生來說，在解題時要用最簡便的方法，在最短的時間內選出正確的選項，也未必輕而易舉，所以，學生在平時的學習中應強化訓練解答選擇題的方法．

（作者單位：湖北省襄樊市第19中學）