分解因式還有一種特殊方法

分解因式在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有較大的比例，作用大，意義深，對分式的約分和通分以及一元二次方程的解法都起著非常重要的作用.又因多項式的形式各異，所以不管哪種版本的教材，對分解因式的方法和步驟，在內(nèi)容編排上都是逐步進(jìn)行的，教師要引領(lǐng)學(xué)生首先提取公因式，然后再想著套用公式.無可非議，這樣安排分解因式的方法和步驟，不僅清楚明確，同時也體現(xiàn)了分解因式的重要性.所以具有一般學(xué)力的學(xué)生，解答這類題目，在提取公因式以后，最先想到的是能不能利用十字相乘法，或者令這個多項式等于零，然后再利用完全平方式或求根公式.例如簡單的分解因式：ｘ2-7ｘ+12，學(xué)生立刻會想到利用十字相乘法.但是十字相乘法的靈活性較強(qiáng)，絕大多數(shù)版本的教材中，除了安排這種含有一個字母簡單的題型外，均適當(dāng)安排了類如ｘ2-9ｘy+18y2這種含有兩個字母類型的題目，這種類型的分解因式也常常會出現(xiàn)在一些教輔資料中和考卷上.而當(dāng)學(xué)生一旦遇到這類含有兩個字母，較為復(fù)雜的多項式時，分解起來就感到非常困難了.

例如分解因式：4ｘ2·4ｘy-3y2-4ｘ+10y-3（其中4ｘ2、-3y2叫做二次項，-4ｘy叫交叉項，-4ｘ、10y叫一次項，-3叫常數(shù)項），對于基礎(chǔ)扎實一些的學(xué)生來說一般還是能夠利用十字相乘法和求根公式來分解的.就是先用兩個二次項“湊”出交叉項，再結(jié)合常數(shù)項“湊出”兩個一次項，便可以利用十字相乘法進(jìn)行因式分解了.若利用求根公式分解，一般是將原多項式看作關(guān)于x的二次三項式.

即：4ｘ2-4（y+1）ｘ+（-3y2+10y-3）=（2ｘ+y-3）（2ｘ-

3y+1）.

對于這種較為復(fù)雜的二元二次多項式，在分解因式時，使用設(shè)零消元法即可使問題刃而解，也很容易被學(xué)生接受.下面就介紹設(shè)零消元法的方法與步驟.

一般地，先設(shè)ax2+bxy+cy2+dx+ey+f能夠分解成兩個一次因式的積（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2），即：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2）.

再設(shè)y=0或x=0，當(dāng)設(shè)y=0時，等式可變?yōu)椋╝x2+dx+f）=（a1x+c1）（a2x+c2）；當(dāng)設(shè)x=0時，等式可變?yōu)椋╟y2+ey+f）=（b1y+c1）（b2y+c2）.然后分別對這兩個等式左邊的一元二次三項式進(jìn)行因式分解，再根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等，進(jìn)行恒等變化，即可得出a1，a2，c1，c2，b1，b２的值，從而得出最終的分解結(jié)果.（說明：先設(shè)y=0與x=0先設(shè) 的道理和結(jié)果是相同的.）

【應(yīng)用舉例】

例1：分解因式：4x2-4xy-3y2-4x+10y-3.

解：設(shè)4x2-4xy-3y2-4x+10y-3=（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2）.

令y=0，得：4x2-4x-3=（a1x+c1）（a2x+c2）.

即：（2x+1）（2x-3）=（a1x+c1）（a2x+c2）.

比較兩邊得：a1=2，a2=2，c1=1，c2=-3.

再令x=0，可得：-3y2+10y-3=（b1y+c1）（b2y+c2）.

即：（-3y+1）（y-3）=（b1y+1）（+b2y-3）.

于是可得：b1=-3，b2=1.

∴4x2-4xy-3y2-4x+10y-3=（2x-3y+1）（2x+y-3）.

（作者單位：安徽省利辛縣鞏店中學(xué)）