我國上證綜指收益概率分布的統計特性分析
2008-12-31 00:00:00都國雄
財經問題研究 2008年9期
摘 要：本文根據我國上海證券交易所綜合指數在過去7年中的高頻數據序列，分析在6種時間標度（1分鐘至60分鐘）下收益的概率分布，發現具有明顯的尖峰和胖尾特征；收益概率分布具有對稱性，利維穩定分布能很好地描繪中間部分的變化規律，利維指數為1．26；其漸近行為具有冪律特性，特征指數為2．86 (1分鐘序列)，超出了利維穩定分布的范圍。結果表明，上證綜指收益概率分布具有明顯的非線性分形特性，這對分析我國股票市場變化的動力學規律、風險管理和衍生產品定價具有指導意義。
關鍵詞：經濟物理學；上海證券市場；概率分布；利維分布
中圖分類號：F830．91文獻標識碼：A
文章編號：1000-176X(2008)09-0085-04
一、引 言
越來越多的研究表明，金融市場（如證券市場、匯率市場）是復雜的非線性動力學系統，人們開始用新的視角來審視金融市場的一些變化特征及規律，從而在20世紀80年代初出現了經濟物理學（econophysics）這一新的交叉學科[1]。它將物理學的知識、方法應用于經濟領域，尤其是金融市場，如將物理學在研究復雜系統時常用的混沌理論和分形幾何學應用于證券市場波動特性的研究[2-5]，將統計物理學和相變理論應用于證券市場突變（stock market crashes）特征的研究[6]，將隨機矩陣理論（random matrix theory）應用于股票收益的相關矩陣分析[7-9]。通過研究，人們發現股票市場是一個復雜的非線性系統，具有分形特性；股票市場收益的概率分布并不完全遵循通常所認為的正態分布，在一定時間標度或稱時間間隔內呈現尖峰瘦態（leptokrutic）和胖尾（fat-tail）分布，具有冪律（power-law）特征的標度行為（scaling behaviour）。例如，通過對美國標準普爾500指數的分析，發現收益的概率分布在三個數量級內（1分鐘至1 000分鐘）具有標度不變性，分布曲線的中間段遵循利維穩定分布（利維特性指數為1．4），兩翼（大于6個標準差）服從指數分布[10]；通過對美國道#8226;瓊斯工業平均指數（DJIA）和挪威奧斯陸（Oslo）證券交易指數（TOTX）的統計分析，發現收益概率分布具有明顯的尖峰和胖尾特征，遵循截尾利維分布，后者的利維特性指數為1．64[3]；通過對巴西圣保羅證券交易指數的統計分析，收益的概率分布也呈現尖峰和胖尾，而且其累積概率分布的漸近行為服從指數分布，Pcum（z）~e-λz（λ≈1．7）[14]；文獻
詳細地分析了標準普爾500指數在過去13年中的1分鐘數據序列，發現收益的累積概率分布呈冪律漸近行為，Pcum（x）~x-α（α≈3），并在四個數量級范圍內保持標度不變性。這些研究結果對分析股票市場波動特性、研究股價變動的動力學規律提供了實證基礎，對預測金融風險具有重要的指導意義。
相比之下，由于我國股票市場建立比較遲，其變化的特征和規律有待逐步研究。一些學者對我國股票市場的相關性問題、有效性問題、標度行為和分形特性等進行了研究，但對收益的概率分布還暫無全面、成熟的研究。隨著對股票市場各種數據記錄技術的提高，獲取各種高頻數據已成為可能。我國自1990年和1991年分別在上海和深圳建立證券市場以來，經歷了1993年的“T+0”交收制度和1995年的“T+1”交收制度，1996年12月16日起又實行了10%漲跌停板制度。為了盡量去除這些制度因素對股票市場的影響，我們選取1998年開始的上海證券交易所綜合指數（上證綜指）在6種不同時間標度的收盤指數序列作為研究樣本，借鑒R．N．Mantegna和H．E．Stanley提出的方法[10]，分析收益序列概率分布的統計特性，為進一步研究我國股票市場變化的動力學規律和精細結構提供實證分析基礎。
二、理論背景
對于對稱的利維穩定分布（Lévy stable distribution）L（x），其傅立葉變換（Fourier Transforms），即特征函數（characteristic function）為：
利維穩定分布和正態分布都具有對稱性，但兩者的主要區別是前者呈現尖峰瘦態和胖尾特征。利維穩定分布的重要特征之一是自相似性，也就是說，當我們將不同時間標度標準化后，不同時間標度的分布曲線將趨于重合。根據Mantegna和Stanley提出的方法，對于不同的時間標度Δt，當我們按Zs≡ZΔt（Δt）1/α進行標準化后，（3）式變為：
這表明，不同時間標度的分布標準化后將與Δt=1時的分布重合。如果實證中能實現這一目標，則說明收益的概率分布遵循利維穩定分布。
三、實證分析
我們將上證綜指在1998年5月4日至2005年6月1日7年間6種時間標度的連續不重復的收盤指數序列作為研究樣本。這6種時間標度依次為1分鐘、5分鐘、10分鐘、20分鐘、40分鐘和60分鐘，其中1分鐘的數據量達40多萬個。數據來源于深圳天軟科技開發有限公司，所有程序都采用Matlab編寫。
1．收益的概率分布
根據有效市場假設（EMH），收益的概率分布服從正態分布，但實證研究表明，許多國家或地區的股票市場的交易指數的收益時間序列，無論是差分收益，如挪威奧斯陸股票交易所的OBX指數、美國標準普爾500指數[10]，還是（7）式定義的對數差分收益，
收益的概率分布均呈現尖峰瘦態和胖尾特征。
通過對我國上海綜指收益的概率分布的統計分析，發現也存在偏離正態分布的尖峰瘦態特征。以上證綜指1分鐘收盤指數收益序列的概率分布為例，與同方差的正態分布相比，具有明顯的尖峰瘦態形狀和胖尾特征（如圖1所示）。由此可以說明，我國上證綜指的收益概率分布也呈現明顯的尖峰瘦態和胖尾特征，變化規律遵循非線性動力學過程?？梢?，無論是成熟的股票市場，還是新興的股票市場，收益的概率分布都具有尖峰瘦態和胖尾特征，可以說是股票市場的共性。
進一步研究，我們發現在收益概率分布曲線的中間段（如圖2所示），概率與收益呈冪律關系，P（Z）∝Z-β，特征指數β為2．86。這一結果超出了利維穩定分布的范圍（0＜β≤2），與美國標準普爾500指數每分鐘數據的研究結果相近，表明分布的方差或二階矩（the second moment）是有限的。這對風險管理和衍生產品的定價是非常重要的。
圖3是上證綜指收益序列在不同時間標度下的累積概率分布曲線，可以發現它們具有明顯的一致性。其中，時間標度為1分鐘和60分鐘時的累積概率分布曲線的冪律特征指數分別為2．31和2．71，同樣超出了利維穩定分布的范圍。
圖3反映了不同時間標度累積概率分布曲線之間的一致性。為了進一步考察它們之間的關系，我們描繪了不同時間標度收益的概率分布的半對數曲線（如圖4所示）。我們發現，分布幾乎是對稱的，且隨著時間標度的增大，分布逐漸擴散。
3．利維指數α值的計算
為了確定利維指數α的大小，我們采用Mantegna和Stanley提出的方法進行計算。
首先，計算收益Z（Δt）=0時的概率P［Z（Δt）=0]，如表1所示。
其次，用最小二乘法擬合lgP［Z（Δt）=0］隨lg（Δt）變化的曲線，發現擬合曲線為直線，表明P（Z=0）與Δt之間具有明顯的冪律關系，P∝（Δt）-α。
最后，計算直線的斜率。上述擬合直線的斜率為λ-0．794±0．024，不同于正態分布時的斜率-0．5。美國SP500指數的擬合直線的斜率為-0．712±0．025[10]，與上證綜指的結果很接近。
根據λ和α的關系α=-1/λ[10]，我們得知，上證綜指收益概率分布的利維指數為α=1．26，小于2，說明不具有正態分布的特性。
4．標準化后的概率分布曲線
當將收益值標準化后，概率分布曲線如圖5所示，6條曲線幾乎重疊在一起，尤其是在中間區域。由此，我們可以得出結論，利維穩定分布能較好地描繪收益概率分布的動力學規律。
圖6是時間標度為1分鐘時，上證綜指收益概率分布實證曲線與利維穩定分布和正態分布的比較?？梢悦黠@發現，利維穩定分布很好地描繪了收益概率分布的中間部分。但在兩翼其下降速度比利維穩定分布快，比正態分布慢。這說明大波動事件出現的概率比正態分布預測的多得多。
四、簡單結論
由于股票市場的收益直接與投資者的利益有關，因此對股票市場收益分布特性的研究具有重要意義。高頻數據更能反映股票市場動態演變的微觀機理和精細結構。雖然我國股票市場詳細記錄高頻數據的時間還比較短，但通過本文對我國上證綜指高頻數據的初步實證分析，我們可以得出以下幾點結論：
第一，收益概率分布不服從正態分布，而是呈現尖峰胖尾分布。因此，基于正態分布理論對股票市場收益概率分布的預測是不準確的，更為重要的是，這將動搖金融市場理論的基礎。
第二，利維穩定分布能較好地描繪股票市場收益概率分布的中間區域，而其漸近行為則遵循冪律分布。這表明我國上證綜指收益的概率分布與國外股票市場收益的概率分布具有相似的特性，都可以用利維穩定分布和冪律分布的組合來描述，而且特征指數非常接近。
第三，標度不變性與長程冪律相關是一致的，是分形市場的重要特征之一。為此，人們提出了分形市場理論，以表示對有效市場理論的置疑。這對股票市場的風險管理和風險預測具有重要的指導意義。
第四，不同國家、不同地區的股票市場具有的這些共性表明股票市場存在某種相似的內部結構或變化機理，就像不同類型的系統在臨界狀態時表現出來的共性和具有普適的特征指數一樣，人們通過對大量臨界實驗事實的研究，提出了重整化群理論，為解釋實驗事實提供了理論支撐。相信隨著對股票市場的深入研究，人們必將找到能解釋變化規律的理論基礎。
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（責任編輯：韓淑麗）
注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>
