透過現象看本質

彭光琴

如果我們能多思考、多總結，就會發現數學中很多有趣的內在關系.我們要會求同存異，透過現象看本質.這樣我們才能靈活運用知識.下面請彭老師給我們舉例分析吧.

問題如圖1，在△ABC中，I分別為∠ABC、∠ACB的平分線的交點.

（1）若∠ABC=40°，∠ACB=60°，你能求出∠BIC的度數嗎？

（2）若∠A=80°，你能求出∠BIC的度數嗎？

（3）若∠A=n°，你能求出∠BIC的度數嗎？

（4）由以上結果你發現了什么？

分析：這道題并不難，對（1）、（2）兩問，同學們很容易求得∠BIC為130°.下面我們來看如何解答第（3）問.

因為I為∠ABC、∠ACB的平分線的交點，所以∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，則∠BIC=180°-（∠IBC＋∠ICB）=180°－（∠ABC＋∠ACB）=180°－（180°－∠A）=90°＋∠A=90°＋×n°.

由以上結果，可以發現這個恒等關系：∠BIC=90°＋∠A.根據一個三角形中兩個內角平分線的夾角與第三個角的關系，你能大膽猜想一個三角形的兩個外角平分線的夾角與第三個角是否也有該關系呢？如果沒有該關系，它們之間有其他關系嗎？

如圖2，△ABC的兩外角平分線交于點I，那么∠BIC與∠A是否還具有以上關系？請同學們自己動手試試！

通過計算我們發現，這時∠BIC=90°－∠A.

以上兩個分別是內角平分線、外角平分線的夾角，同學們有沒有再考慮：如果是一個內角平分線和一個外角平分線的夾角，它與第三個角是否也有一定的關系？如果有，又是什么關系呢？

如圖3，在△ABC中，BI為∠ABC的平分線，CI為△ABC的外角∠ACD的平分線，則∠A與∠BIC之間有何關系？

解決這個問題的方法與上面有所不同.因為I為∠ABC的平分線和∠ACD的平分線的交點，所以∠IBC=∠ABC，∠ICD=∠ACD，則∠BIC=∠ICD－∠IBC=（∠ACD－∠ABC）=∠A.

學數學要學會舉一反三，只有這樣才能觸類旁通.下面請同學們結合以上的探索過程，解決這個問題.

如圖4，在△ABC中，∠A=50°，延長BC到D，∠ABC的平分線和∠ACD的平分線交于點I1，∠I1BC的平分線和∠I1CD的平分線交于點I2……依此類推，∠I4BC的平分線和∠I4CD的平分線交于點I5，則∠BI5C=.

同學們，這道題你會處理嗎？在數學的王國里，只要多思考，你一定會感受到數學的奧妙無窮.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。