斐波那契數列

周啟東

蜜蜂是勤勞的，也是可愛的，下面就請同學們來思考一個與蜜蜂有關的數學趣題.

假定有一排蜂房，形狀如圖1，一只蜜蜂在左下角，由于受了點傷，它只能始終向右方（包括右上、右下）爬行，從一間蜂房爬到右邊相鄰的蜂房中去.例如，蜜蜂到1號蜂房的爬法有：蜜蜂→1號；蜜蜂→0號→1號.共有2種不同的爬法.同學們知道蜜蜂從最初位置到4號蜂房共有多少種不同的爬法嗎？

要求出蜜蜂從最初位置到4號蜂房共有幾種不同的爬法，就得由簡到繁、一步一步來.

很明顯，按規則，蜜蜂從最初位置到0號蜂房只有唯一的一種爬法.從最初位置到1號蜂房有2種不同爬法：蜜蜂→1號；蜜蜂→0號→1號.同樣的道理，蜜蜂從最初位置到2號蜂房有3種不同爬法：蜜蜂→0號→2號；蜜蜂→1號→2號；蜜蜂→0號→1號→2號.蜜蜂從最初位置到3號蜂房有5種不同爬法：蜜蜂→1號→3號；蜜蜂→0號→2號→3號；蜜蜂→0號→1號→2號→3號；蜜蜂→1號→2號→3號；蜜蜂→0號→1號→3號.

現在不難看出，蜜蜂要是想從最初位置爬到4號蜂房，那它在到4號蜂房之前，最后一個落腳點不是2號蜂房就是3號蜂房.所以蜜蜂從最初位置到4號蜂房的不同爬法的總數，就是它從最初位置到2號蜂房的不同爬法的總數與它從最初位置到3號蜂房的不同爬法的總數的和.因此蜜蜂從最初位置到4號蜂房的不同爬法的總數為3+5=8.

如果還有5號蜂房、6號蜂房、7號蜂房……繼續算下去就會得到下面的一組數：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，

144，….

如果這列數前面再加上一項1，那么就成了很有名的斐波那契數列.

列昂納多·斐波那契是意大利的數學家.他是一個商人的兒子.兒童時代跟隨父親到了阿爾及利亞，在那里他學到了許多阿拉伯的算術和代數知識，從而對數學產生了濃厚的興趣.

長大以后，因為商業貿易關系，他去過許多國家，到過埃及、敘利亞、希臘、西西里和法蘭西.每到一處他都留心搜集數學知識.回國后，他把搜集到的算術和代數材料，進行研究、整理，編寫成一本書，取名為《算盤之書》，于1202年正式出版.

這本書是歐洲人從亞洲學來的算術和代數知識的整理和總結，它推動了歐洲數學的發展.從此，阿拉伯數字在歐洲通行起來.

在這本書中有一道“兔子問題”：

一個人到集市上買了一對小兔子，一個月后，這對小兔子長成一對大兔子.然后這對大兔子每過一個月就可以生一對小兔子，而每對小兔子也都是經過一個月可以長成大兔子，長成大兔子后也是每經過一個月就可以生一對小兔子.那么，從此人在市場上買回那對小兔子算起，每個月后，他擁有多少對兔子？

這是一個有趣的問題.可以這么推算:

第一個月后，小兔子剛長成大兔子，還不能生小兔子，所以只有一對大兔子.

第二個月后，大兔子生了一對小兔子，他有了一對小兔子和一對大兔子.

第三個月后，原先的大兔子又生了一對小兔子，上月出生的小兔子也長成了大兔子，他共有一對小兔子和兩對大兔子.

第四個月后，兩對大兔子各生一對小兔子，上月出生的小兔子又長成了大兔子，他共有兩對小兔子和三對大兔子.

第五個月后，三對大兔子各生一對小兔子，上月出生的兩對小兔子也長成了大兔子，他共有三對小兔子和五對大兔子.

……

以此類推，可得到每月兔子對數為一個數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，….

這是一個很有規律的數列，從第三項起，每一項都是緊接著它的前面兩項的和，這個數列可以無窮盡地向大數發展.人們為了紀念這位“兔子問題”的創始人，就把這個數列稱為“斐波那契數列”．

該數列有很多奇妙的屬性.比如：

隨著數列項數的增加，前一項與后一項之比越來越逼近0.618 033 988 7…….

還有一個性質，從第二項開始，每個奇數項的平方都比前后兩項之積多1，每個偶數項的平方都比前后兩項之積少1.連續4項中，中間兩項的積與外面兩項積的差是1或-1.

上面的知識同學們懂了嗎？下面的問題就請你們來完成吧!

人民公園的側門口有9級臺階，小聰一步只能上１級臺階或２級臺階，那么小聰上這９級臺階共有多少種不同方法？（參考答案：55）

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。