橢圓與三角形相關問題的歸類解析

楊志芳

解析幾何與三角是高中數學的重要內容，兩者結合能體現兩主干知識的內在聯系和知識之間的綜合應用，而在知識網絡交匯處設計試題歷來受命題者的青睞，在各級各類考試中頻頻出現，各省市和全國高考卷對此類問題也情有獨鐘.本文就以橢圓和三角形相關問題作一歸類解析.

一、三角形邊長問題

例1 設F1、F2為橢圓x29+y24=1的兩個焦點，P為橢圓上一點，已知P、F1、F2是一直角三角形的三個頂點，且|PF1|>|PF2|，求|PF1||PF2|的值.

分析：本題可以根據橢圓的定義求出兩焦半徑的長度，或利用橢圓的對稱性求出點P的坐標.但本題并沒有講哪個是直角，故要分類討論.具體解題過程不再贅述.

(1)若∠PF2F1為直角，則|PF1|=143,

|PF2|=43,∴|PF1||PF2|=72.

(2)若∠F1PF2為直角，得|PF1|=4,|PF2|=2，故|PF1||PF2|=2.

評注：這類題目往往考查橢圓的一些概念和性質，又不失考查學生的數學思想，經常以選擇題填空題的形式出現.

二、橢圓離心率問題

例2 已知P是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點，O為橢圓中心，F1、F2是左右兩焦點，在△F1PF2中，若∠F1PF2=90°，求橢圓離心率的取值范圍.

解：以O為圓心，以c為半徑作圓，此圓必定與橢圓有交點，而且交點P顯然滿足∠F1PF2=90°，所以c應滿足b≤c

評注：題中△F1PF2稱為橢圓的“焦點三角形”，根據焦點三角形的特

征，解題的主要途徑是：橢圓的兩個定義(或焦半徑公式)和正余弦定理(或勾股定理)，以及數形結合的思想.

若將此題變式為：以長軸的兩個端點為三角形的兩個頂點，角度再作一點變化即可變為下面題目(上海市高考題).

已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A、B是橢圓長軸的兩個端點，如果橢圓上存在一點Q使得∠AQB=120°.求橢圓的離心率e的取

值范圍.

三、坐標取值范圍問題

例3 橢圓x24+y2=1的焦點為F1，F2，點P為橢圓上一動點，當∠F1PF2為鈍角時，求點P的橫坐標的取值范圍.

解法一：橢圓x24+y2=1的半焦距c=3

，以O為圓心，c為半徑作圓x2+y2=3,解x2+y2=3

x24+y2=1得交點橫坐標為±263.又同圓中同弧所對的角，頂點在圓內的角大于頂點在圓周上的角，大于頂點在圓外的角，故當P在橢圓和圓的交點間的上下兩段橢圓弧上時，∠F1PF2為鈍角，所以-263

解法二：設橢圓上點P(2cosθ,sinθ)，則F1P=(2cosθ+3,sinθ),F2P=(2cosθ-3,sinθ),∵∠F1PF2為鈍角，∴F1P摺F2P<0,∴4cos2θ-3+sin2θ<0,∴3cos2θ-2<0，于是，cosθ∈-63,63,∴2cosθ=x∈-263,263.

評注：與圓錐曲線有關的參數范圍問題的討論常用的方法有：①利用圖形列

出所討論的參數適合的不等式(組)，通過解不等式求出參數的范圍.②把所討論的參數作為一個函數，另一個適當的參數作為自變量來表示這個函數，通過討論函數的值域來求參數的變化范圍.

四、最值問題

例4 設橢圓E的中心為坐標原點O，焦點在x軸，離心率為33，過C(-1，0)的直線l交橢圓E于A、B兩點，滿足CA=2BC.求當△AOB面積達到最大值時直線l和橢圓E的方程.

解：設橢圓為2x2+3y2=t(t>0)，直線為my=x+1.

兩方程聯立， 消去x得，(2m2+3)y2-4my+2-t=0.∵CA=2BC擼∴y1=-2y2,而y1+y2=4m2m2+3，得y1=8m2m2+3,y2=-4m2m2+3,∴S△AOB=12|y1-y2|=6|m2m2+3|=62|m|+3|m|≤62.當且僅當m2=32時，即m=±62時，△AOB面積達到最大值，此時直線l的方程為x±62y+1=0.由m2=32及y1y2=2-t2m2+3,得t=10,∴橢圓的方程為2x2+3y2=10.

評注：這類問題主要考查橢圓的幾何性質、橢圓與直線的位置關系等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力，往往以解答題形式出現，如2007年浙江省高考第20題.

五、證明問題

例5 橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的內接△PAB和△PCD，邊PA、PB、PC、PD交x軸分別為A1、B1、C1、D1四點，若PA1=PB1,PC1=PD1，問是否存在實數λ使得AB=

λCD?

分析：本題特征比較抽象，思路不易形成，運算繁雜.但可從以下兩個方面去思考，一是以坐標軸上兩點邊線為底邊的三角形為等腰三角形，兩腰所在直線的斜率，其絕對值相等，符號相反，有了這一知識，再考察本例題，PA的斜率與PB的斜率是互為相反數，即kPA=-kPB，若PA的斜率k1，則PB的斜率為-k1，若PC的斜率為k2，則PD的斜率為-k2.二是計算A的坐標時利用根與系數的關系可使問題簡化.

解：設P(x0,y0)，PA的斜率為k1，則lPA:y-y0=k1(x-x0),即y=k1x+y0-k1x0，與橢圓方程聯立可解得A的坐標，即聯立方程得(a2k21+b2)x2+(2a2k1y0-2a2k21x0)x+a2(y0-k1x0)2-a2b2=0(*)

由于直線與橢圓有兩個交點，故xA+x0=2a2k21x0-2a2k1y0a2k21+b2,xA=2a2k21x0-2a2k1y0a2k21+b2-x0,∴xA=(a2k21-b2)x0-2a2k1y0a2k21+b2.代入直線方程可得yA=(b2-a2k21)y0-2b2k1x0a2k21+b2,計算B的坐標時，可以通過類比的思想，只要將A坐標中的k1換成-k1，即得到B的坐標，∴xB=(a2k2-b+2)x0+2a2k1y0a2k21+b2

，yB=(b2-a2k21)y0+2b2k1x0a2k21+b2,∴kAB=yA-yBxA-xB=-4b2k1x0-4a2k1y0=b2x0a2y0(與k1無關的常量).

同理又可以通過類比，只要將上述過程中的k1換成k2即可計算出CD所在的直線的斜率也為b2x0a2y0，所以AB摺蜟D擼故一定存在實數λ使得AB=λCD.

評注：解析幾何給人的感覺是由于運算量大，設元技巧性強，通過多次運算，是否能得到最后結果，心中無底，致使很多學生“望而生畏”.但某些特定的時候，通過類比或代換可以減少運算量，達到簡化解題之功效.

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