一道源于課本的橢圓問題的解法探討

王春彪

高三數學復習應當回歸教材，注重課本習題的探究，培養學生重視結果更要重視過程且弄清

知識的來龍去脈的嚴謹的學習態度.本人在一次高三數學復習課中遇到如下一道小題：

“如圖，將矩形ABCD的兩邊BC、CD分別8等分，過A、B連接七個對應分點的連線得7個交點，對于下列曲線：①圓；②橢圓；③雙曲線；④拋物線；⑤直線.這7個交點可能位于哪幾種曲線上，寫出所有可能曲線的序號 .”

本題的背景實質是蘇教版高中數學教材選修2-1第33頁的11題.原題為：“把矩形的各邊n等分，如圖1連接直線，判斷對應直線的交點是否在一個橢圓上，為什么?”教參提供的答案認為是在一個橢圓上，并給出了證明過程，實質上是不夠嚴密的.因為正方形是特殊的矩形，

因此對應點也有可能是在一個圓上，本題則很好地完善了課本題結論.教學中發現學生存在兩個方面問題：一是容易忽略圓這個特殊結論；二是對得到橢圓的結論過程和方法不熟悉.因此有必要探討如何探究得到正確結論?

一、矩形為正方形時對應點在一個圓上

證明過程如下：

證法1：(幾何證法)如圖2：設AE和BF是對應的第r個分點連線(0≤r≤n,r∈N)，則易證明△ABE≌△BCF,則∠BAE=∠CBF,∵∠CBF+∠ABF=90°，∴∠BAE+∠ABF=90°,即∠APB=90°.∴點P在以AB為直徑的圓上.

證法2：(代數證法)如圖4：設AB=2a,設P(x,y);A(-a,0),B(a,0),E(a,2ran),

F(a-2ran,2a),則AE的方程：y=rn(x+a);BF的方程：y=-nr(x-a).交點P的坐標x=n2-r2n2+r2a

y=2nrn2+r2a,

即P點坐標(n2-r2n2+r2a,2nrn2+r2a)

,則點P所在的曲線方程為x2+y2=a2.∴點P在以AB為直徑的圓上.

二、矩形為非正方形時對應點在一個橢圓上

證明過程如下：

證法1：類比圓的代數解法，如圖3設AB=2a,BC=2b,設P(x,y),A(-a,0),B(a,0

),E(a,2rbn)，F(a-2ran,2b),則AE的方程：y=rbna(x+a).BF的方程：y=-nbra(x-a).交點P的坐標x=n2-r2n2+r2a

y=2nrn2+r2b,∴x2a2+y2b2=1.

i)當a=b時，x2+y2=a2，以AB為直徑的圓；

ii)當a>b時，x2a2+y2b2=1，焦點在x軸(線段AB)上的橢圓；

iii)當a

直接用代數解法，但是解方程過程較為復雜，能否有更為簡單的消參方法呢?考慮到橫縱坐標的幾何屬性，得到下列解法：

證法2：如圖5，由△APH∽△ABE，∴PHAH=BEAB.∴yx+a=2rbn2a,∴yx+a=rbna ①

由△BFG∽△BPH,∴PHBH=FGBG.∴ya-x=2ba-(a-2ran),∴ya-x=nbra ②

∴①×②得：y2a2-x2=b2a2,即x2a2+y2b2=1(下同解法1).

證法3：充分考慮到圓與橢圓的關系，由正方形時的代數解法得到交點P坐標x=n2-r2n2+r2a，

y=2nrn2+r2a，由矩陣與變換的知識，正方形可通過伸壓變換得到一般矩形，易知該變換的矩陣為A=10

0ba，則x

y10

0ba=x′

y′,即x′

y′=x

y10

0ba=n2-r2n2+r2a

2nrn2+r2b,

∴x′=n2-r2n2+r2a,

y′=2nrn2+r2b,(下同解法1).

本題在探究該問題的解法過程中，用到了代數解法和幾何解法.并且用到新教材的類比推理及矩陣與變換的知識，體現了數形結合的數學思想，能從特殊到一般又能從一般到特殊的思考問題.在解題過程中很好地體現了傳統高中數學知識和方法，又突出新課程所倡導的方法和思路，確實是一道值得深究的好題.

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