應用導數求函數區間最值

唐舜生

函數的區間最值是指函數在某個特定的區間上的最大(小)值，這類題往往含有參數，解答時常用到分類討論與數形結合的思想.導數的引入拓展了高考數學命題的范圍，擺脫了對二次函數的依賴，借助導數求高次函數、指數函數、對數函數、三角函數等的區間最值，已成為近幾年高考的熱點和難點.函數的區間最值問題可分為以下四類，下面舉例說明各種類型題的解法.

一、定函數在定區間上的最值

函數是給定的，給出的定義域區間也是固定的，我們稱這種情況是“定函數在定區間上的最值”.這類題不含參數，不需要對參數的變化范圍進行分類討論，因此比較簡單，只要求出極值與區間端點的函數值，進行比較即得函數的最大(小)值.

例1 求函數y=2x-x2x+1的最大值.

解：函數的定義域為［0，2］，令y′=1-2x(x+1)22x-x2=0得x=12，∵f(0)=0,f(2)=0,f(12)=33,∴函數y的最大值是33.

點評：求函數最值時，注意先求函數的定義域.

例2 求函數f(x)=cos3x+sin2x-cosx的最小值.

解：由f(x)=cos3x+1-cos2x-cosx，令t=cosx,則t∈［-1，1］，f(x)=g(t)=t3-t2-t+1,令g′(t)=3t2-2t-1=0得t1=-13,t2=1,∵g(1)=0,g(-1)=0,g(-13)=3227,∴函數f(x)的最小值是0.

點評：本題以三角函數知識為載體，先通過換元，將三角函數問題轉化為三次函數在區間［-1，1］上的最小值問題.

二、動函數在定區間上的最值

函數隨參數a的變化而變化，即其圖像是運動的，但定義域區間是固定的，我們稱這種情況是“動函數在定區間上的最值”.根據函數極值點與區間的位置關系，需要分三種情形討論：①函數的極值點在這個區間的左邊；②函數的極值點在這個區間的右邊；③函數的極值點在這個區間內.然后判斷函數在這個區間上的單調性，得到函數的最大(小)值.

例3 已知函數f(x)=2ax-1x2,x∈(0，1］，求f(x)在區間(0，1］上的最大值.

解：(1)當a=0時，f(x)=-1x2,

∴f(x)max=-1;

(2)當a≠0時，令f′(x)=2a+2x3=2(ax3+1)x3=0,得x=3-1a.

(i)當3-1a<0，即a>0時，由x∈(0,1］，得f

′(x)>0.∴函數f(x)在(0，1］上單調遞增，f(x)max=f(1)=2a-1;

(ii)當3-1a>0，即-10,∴函數f(x)在(0，1］上單調遞增，f(x)max=f(1)=2a-1;

(iii)當0<3-1a≤1，即a≤-1時，當00;當3-1a

綜上知：f(x)max=2a-1(a≥-1),

-33a2(a<-1).

例4 已知函數f(x)=ln(x+a)-x(a>0),求f(x)在［0，2］上的最小值.

解：令f′(x)=1x+a-1=-x+a-1x+a=0,得x=1-a，∵0≤x≤2,又a>0,則x+a>0恒成立.

(i)當1-a≥2時，得a≤-1，與題設a>0矛盾；

(ii)當1-a≤0，即a≥1時，f′(x)≤0在［0，2］恒成立，∴f(x)在［0，2］上單調遞減，f(x)min=f(2)=ln(a+2)-2.

(iii)當0<1-a<2時，即-10;x∈(1-a,2］時，f′(x)<0.∴當x=1-a時，f(x)取極大值，最小值只能產生于f(0)或f(2)，而f(0)-f(2)=lne

2a-ln(2+a).

當2e2-1f(2),f(x)min=f(2);當0

綜上知：當a>2e+2-1時，f(x){min}=ln(2+a)-2;當0

點評：例4中若注意到a≥-1，x∈(0，1］時，f′(x)≥0，f(x)單調遞增，

則解法更簡便.

三、定函數在動區間上的最值

函數是確定的，但它的定義域區間是隨參數t而變化的，我們稱這種情況是“定函數在動區間上的最值”.根據區間與函數極值點的位置關系，需要分三種情形討論：①這個區間在極值點的左邊；②這個區間包含極值點；③這個區間在極值點的右邊.然后判斷函數f(x)在這個區間上的單調性，得到函數的最大(小)值.

例5 已知函數f(x)=x3-3x2+2,求f(x)在區間［0,t］(0

大值和最小值.

解：令f′(x)=3x2-6x=0，得x=0或x=2.

(1)當0

(2)當2

0,∴f(x)max=f(0)=2.

點評：本題是由區間的運動變化，引起此區間上對應的曲線段的變化，從而使問題在不同情況下有不同的解.

四、動函數在動區間上的最值

函數是含參數的函數，而定義域區間也是變化的，我們稱這種情況是“動函數在動區間上的最值”.同樣要根據區間與函數極值點的相對位置關系，分三種情況討論求解.

例6 從邊長為2a的正方形鐵片的四個角各截去一個邊長為x的正方形，再將四邊向上折起，做成一個無蓋的長方體鐵盒，要求長方體的高度與底面邊長的比值不超過常數t(t>0),試問當x取何值時，容量V有最大值.

解：∵V=x(2a-2x)2=4(a-x)2x.依題意得：x>0;2a-2x>0;x2a-2x≤t,∴0

V′=4(x-a)(3x-a),令V′=0，得x=a3,x=a(舍).

(1)當a3≤2at1+2t,即t≥14時，∵00;a3

(2)當a3>2at1+2t，即00恒成立，∵V(x)為增函數，∴當x=2at1+2t時，V有最大值8a2t(1+2t)2.

應用導數求函數的區間最大值，具有普適性.一般步驟是：求函數極值點——討論極值點與區間的位置關系——判斷函數在區間上的單調性——聯想函數在區間上的大致圖像——直觀

得出結論.按此程序解決函數區間最值問題，思路清晰，能夠“以不變應萬變.”

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