一個(gè)絕對(duì)值不等式求解的誤區(qū)

何　峰

問(wèn)題 若不等式|a-lnx|+ln33x+2>0在x∈［16,13］上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解法1：∵當(dāng)x∈［16,13］時(shí)，ln33x+2∈［0,ln65］，且|a-lnx|≥0，∴當(dāng)x∈［16,13)時(shí)，a∈R；當(dāng)x=13時(shí)，a∈R且a≠ln13，兩種情形取交得a的取值范圍是a>ln13或a

解法2：|a-lnx|+ln33x+2>0,移項(xiàng)變形為|a-lnx|>-ln33x+2,

∴a-lnx>-ln33x+2或a-lnx

即a>lnx-ln33x+2=ln(x2+23x)或

aln13或a

兩種解法的過(guò)程都沒(méi)錯(cuò)，但結(jié)果不同，說(shuō)明兩種解法至少有一種所用的知識(shí)有問(wèn)題.經(jīng)過(guò)分析可知，解法1是沒(méi)問(wèn)題的，結(jié)果無(wú)疑是正確的，那解法2就肯定是錯(cuò)誤的，問(wèn)題是錯(cuò)在哪里?錯(cuò)因是什么?為了弄清本質(zhì)，我們先給出一個(gè)最原始的解法.

解法3：|a-lnx|+ln33x+2>0移項(xiàng)變形為|a-lnx|>-ln33x+2，去絕對(duì)值得a-lnx≥0，

a-lnx>-ln33x+2，或

a-lnx<0，

a-lnx

a>lnx-ln33x+2或lnx>a，

a

a>ln(x2+23x)或x>ea，

a

當(dāng)ea≥13,即a≥ln13時(shí)，x∈［16,13］(-∞,ea］，ln(x2+23x)的最大值為ln13,∴a≥ln13，取交得a≥ln13;

當(dāng)ea≤16即a≤ln16時(shí)，x∈［16,13］(ea,+∞］，ln(1-23x+2)的最小值為ln15,

∴a≤ln15，取交得a≤ln16;

當(dāng)16

23ea),∴a>ln(e2a+23ea),解得a

x∈［ea,13］，ln(1-23x+2)的最小值為

ln(1-23ea+2),∴a

幾種情形的結(jié)果合并得a的取值范圍是：a>ln13或a

13.

把解法3與解法2比較就不能發(fā)現(xiàn)，解法3是用絕對(duì)值的定義去絕對(duì)值，解法2是用絕對(duì)值的定義導(dǎo)出的公式|x|>a趚>a或x<-a去絕對(duì)值，由于公式|x|>a趚>a或x<-a在教科書(shū)上有a>0這一條件，而解法3在使用公式|x|>a趚>a或x<-a時(shí)沒(méi)考慮這一條件，這就是說(shuō)，公式|x|>a趚>a或x<-a(a>0)與公式|x|>a趚>a或x<-a(a∈R)是不等價(jià)的，即按解法3，當(dāng)a=0時(shí)，|x|>a趚>0或x<0趚>a或x<-a；當(dāng)a<0時(shí)，|x|>a趚≥0或x<0，不等價(jià)于x>a或x<-a，但{x|x≥0,或x<0}={x|x>a，或x<-a}是正確的.這就是說(shuō)，{x||x|>a}={x|x>a，或x<-a}(a∈R)是正確的，|x|>a趚>a或x<-a(a∈R)是錯(cuò)誤的(只有當(dāng)a>0是才是正確的)，所以，|x|>a趚>a或x<-a(a∈R)用于解不等式是對(duì)的，即形如|f(x)|>a，或|f(x)|>g(x)的不等式都無(wú)須對(duì)a,g(x)分類(lèi)討論而直接使用|x|>a趚>a或x<-a(a∈R)求解，但用于放縮即加強(qiáng)或削弱(證明)不等式是錯(cuò)誤的(只有在a>0時(shí)才可用).

由于不等式恒成立的本質(zhì)是不等式的加強(qiáng)，所以，|x|>a趚>a或x<-a(a∈R)不能普遍使用，又由于|a-lnx|+ln33x+2>0化為|a-lnx|>-ln33x+2，且在x∈［16,13］時(shí)，-ln33x+2≤0，僅當(dāng)x=13時(shí)取等號(hào)，所以，解法2是錯(cuò)誤的.只能用解法1或解法3求解，其中解法1比解法3優(yōu)越.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文