談概率中變角度思考的誤區

毛浙東

我們在做概率題目時，常常遇到這樣的情況：一道題目如果變換角度來思考，得到的答案跟原來截然不同，兩種方法看上去都沒有錯誤，使得我們很難取舍.實際上，這是陷入了變角度思考的誤區.筆者將這些誤區作了歸納，現以具體例子來逐一說明.

一、錯用公式

錯誤運用概率公式是我們出錯的重要原因，比如事件A與事件B不互斥，卻在用公式P(A+B)=P(A)+P(B)；事件A與事件B不獨立，卻在用公式P(A·B)=P(A)·P(B)；在不能保證每次試驗的概率不變的情況下，卻在運用獨立重復試驗公式計算等等，這些都是陷入了“錯用公式”的誤區.

例1 甲參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，他能答對其中的6道，規定每次考試都從備選題中隨機抽出3道進行測試，至少答對2道才算合格，求此人考試合格的概率.

原解：此人從10道題中選3題來答，有C310種可能，而他要求能考試合格，則有兩類可能：一類是從會做的6題中選3題來答，有C36種可能，一類是從會做的6題中選2題，從不會做的4題中選1題來答，有C26C14種可能.故所求概率為P=C36+C26C14C310=23.

變解：因為此人會回答10道中的6道，故其答對題目的概率是610，要求3道之中至少答對2道才算合格，則有兩類可能：要么他答對了3道中的2 道，要么他3道都答對了.故所求概率為P=C23×(610)2×(410)+C33×(610)3=81125.

評注：原解是正確的，而變解卻是錯誤的，原因是此解法忽視了獨立重復試驗要求每次答對題的概率是不變的這個事實.在甲做第一題時，答對的概率的確為610，但答完第一道題后，若他第一題答對，則他答對下一題的概率變小為59，若他第一題答錯，則他答對下一題的概率變大為69，故不能保證每次答對的概率不變，所以不能用獨立重復試驗公式計算.

二、思路混亂

做概率題要求思路清晰，思維嚴密，尤其要保證前后一致，但對初學者來講，往往會陷入“思路混亂”的誤區.

例2 拋擲三枚硬幣，并觀察各枚落下后是國徽向上或是麥穗向上，問三枚硬幣向上的一面完全相同的概率是多少?

原解：三枚都是麥穗向上的概率是12×12×12=18，三枚都是國徽向上的概率是12×12×12=18，所以三枚硬幣向上的一面完全相同的概率是14.

變解：拋起的三枚硬幣落下后至少有兩枚向上的一面是相同的，而第三枚硬幣落下后國徽向上和麥穗向上的概率各占12，由此可知，三枚硬幣落下后全部一樣的概率是12.

評注：乍一看變解好象也是對的，但實質上“至少兩枚”和“第三枚”兩者并非并行的兩個概念，它們是交錯的，事實上“至少兩枚”已經把“第三枚”包括在內了，有了前面的“至少兩枚相同”的結論，第三枚就不再自由了.因此，變解2錯在解題思路混亂，導致重復計算，使概率從正確的14變大為了12.

三、曲解題意

有些時候，我們在審題時不仔細，沒有嚴格按照題目的要求操作，而是憑主觀感覺來做題，從而陷入了“曲解題意”的誤區.

例3 一棵樹如圖所示，在樹上有兩個果子(不妨設為1號果、2號果)，一只猴子隨機從底部向上爬，則這只猴子能摘到果子的概率是多少?

原解：猴子爬到第一個分枝時有三種選擇，走每個分枝的概率都為13，若猴子沿能采到1號果子的分枝向前爬行，則在第二個分叉時，能采到1號果子的概率是12.所以這只猴子能采到1號果子的概率為13×12=16.同理，猴子采到2號果子的概率也為16，所以猴子采到果子的概率為16+16=13.

變解：猴子爬行的路線有7條，能采到果子的路線有2條，所以概率為27.

評注：變解曲解了題意.事實上，猴子到達每個枝頭的概率是不相等的，并

非都是17，因為猴子不是小鳥，不能飛到枝頭，它只能老老實實順著樹枝往上爬，所以它必須先面臨第一個分岔口的3個選擇，它走任意一條路口的概率都是13，然后它如果想到含有兩個子分支的枝頭，還要面臨第二個分岔，選擇任意一個分岔的概率都為12，根據乘法原理，我們有13×12=16；而它如果想到含有三個子分支的枝頭，也要面臨第二個分岔，選擇任意一個分岔的概率都為13，根據乘法原理，我們有13×13=19，這個概率要小于它到達含有兩個子分支的枝頭的概率.當然，如果題目改成小鳥采果子的話，則小鳥飛到任意一個枝頭的概率都是17，此時變解就是正確的.

四、未挖隱含

很多概率題目敘述很簡短，但里面往往蘊涵了豐富的隱含條件，如果我們沒能深刻挖掘，就會陷入“未挖隱含”的誤區.

例4 把一條木棒隨機地折成三段，求這三段可以構成三角形的概率.

原解：設木棒的長度為a，被折成三段后其中兩段的長度分別為x和y，則第三段長度為a-x-y，我們有：0

0

0

0

0a(1)

如圖，建立平面直角坐標系，則所有情形可以用圖中的大三角形區域內的點來表示.又因為能構成三角形，則還應符合下列條件：y+(a-x-y)>x

x+(a-x-y)>y

x+y>a-x-yx

y

x+y>a2 (2)

則所有能構成三角形的情形可以用陰影三角形來表示，故所求概率應該等于圖中陰影部分的面積S1和大三角形面積S之比，即P=S1S=12(a2)212a2=14.

變解：設木棒的長度為a，如果最長的一段小于其余兩段之和，也就是最長的一段比整個木棒長度的一半還要短，那么所折成的三段就能構成一個三角形，而一根木棒折下一段的長度小于原長的一半的概率是12，所以由一根細棒折成的三段圍成三角形的概率是12.

評注：原解深刻地挖掘了題目的所有隱含條件，而變解卻沒有做到.實際上

，“最長的一段”的長度z的范圍不是0

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文