例析構(gòu)造法解三角題

宋　波

“構(gòu)造法”是指為解決某個(gè)問題先構(gòu)造一種數(shù)學(xué)形式(如幾何圖形、代數(shù)式、方程式等)，尋求與問題的某種內(nèi)在聯(lián)系，使之直觀明了，起到化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化和橋梁作用，從而找到解決問題的思路、方法.此法重在“構(gòu)造”、深刻分析、正確思維和豐富聯(lián)想.它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想，滲透著猜想、試驗(yàn)、探索、概括等重要的數(shù)學(xué)方法，是一種富有創(chuàng)造性的解決問題的方法.

三角問題千變?nèi)f化，題型豐富，某些問題的解答技巧性強(qiáng)，如果只用常規(guī)方法去處理可能很復(fù)雜，甚至難以奏效.若能根據(jù)題設(shè)條件和題型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用構(gòu)造法，能使問題迎刃而解.

一、構(gòu)造幾何圖形解三角題

例1 已知θ，φ均為銳角，且θ+φ<π2,化簡(jiǎn)cos2φ+cos2(θ+φ)-2cosφcosθcos(θ+φ).

析解：構(gòu)造外接圓直徑為1且三內(nèi)角分別為90°+φ,90°-(θ+φ)，θ的三角形，則由余弦定理，原式=sin2(90°+φ)+sin2［90°-(θ+φ)］-2sin(90°+φ)sin［90°-(θ+φ)］cosθ=sin2θ.

例2 已知銳角α，β，γ滿足cos2α+cos2β+cos2γ=1,求證：tanα+tanβ+tanγ≥32.

析證：構(gòu)造長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c的長(zhǎng)方體，使其同一個(gè)頂點(diǎn)處的對(duì)角線與三條棱所成的夾角分別為α、β、γ，顯然銳角α，β，γ滿足cos2α+cos2β+cos2γ=1，且tanα=b2+c2a,tanβ=c2+a2b,tanγ=a2+b2c,所以tanα+tanβ+tanγ=b2+c2a+c2+a2b+a2+b2c≥22(b+ca+c+ab+a+bc)=22·［(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc)］≥22(2+2+2)=32,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，即α=β=γ=arctan2時(shí)，等號(hào)成立.

評(píng)注：“構(gòu)圖”是構(gòu)造法中的一個(gè)重要方法，如能挖掘三角問題中所具有的圖形特征，正確有效地構(gòu)造幾何圖形，明確反映各量之間的關(guān)系，就能準(zhǔn)確快速地作出解答.

二、構(gòu)造代數(shù)(或函數(shù))式解三角題

例3 求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.

析解：設(shè)x=sin220°+cos250°+sin20°·cos50°，

構(gòu)造x的對(duì)偶式y(tǒng)=cos220°+sin250°+cos20°sin50°,則x+y=2+sin70°,x-y=-cos40°+cos100°-sin30°=-12-sin70°,兩式聯(lián)立解得x=34.

例4 求證：cosπ7-cos2π7+cos3π7=12.

析證：設(shè)A=cosπ7-cos2π7+cos3π7，構(gòu)造A的對(duì)偶式B=sinπ7-sin2π7+sin3π7,

令z=cosπ7+isinπ7,易知z7=-1,且z3≠-1，則A+Bi=z-z2+z3=z(1+z3)1+z=z(1+z3)-z7+z=1+z31-z6=11-z3

=11-cos3π7-isin3π7=12+sin3π72(1-cos3π7)i,所以A=12.

評(píng)注：數(shù)學(xué)美無處不在，三角函數(shù)中尤其如此，而對(duì)稱美在數(shù)學(xué)解題中具有重要作用.在構(gòu)造代數(shù)式或函數(shù)式解題時(shí)，常構(gòu)造“對(duì)偶式”、“對(duì)稱式”，有利于重組問

題中各元素，匯聚題目條件，收到事半功倍的效果.

三、構(gòu)造方程解三角題

例5 求sin18°和cos36°的值.

析解：因?yàn)閟in18°·cos36°=sin36°·cos36°2cos18°=sin72°4cos18°=14,-sin18°+cos36°=sin54°-sin18°=2cos36°·sin18°=12,所以將-sin18°和cos36°看作一元二次方程x2-12x-14=0的兩根，解這個(gè)方程得x=1±54,又因?yàn)閏os36°>sin18°>0,所以sin18°=5-14,cos36°=1+54.

評(píng)注：對(duì)于某些三角求值問題，直接計(jì)算很難入手，可運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，聯(lián)想構(gòu)造一元二次方程來求解.

四、構(gòu)造平面解析幾何模型解三角題

例6 求函數(shù)f(x)=1+sinx3+cosx的最值.

析解：三角函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為過單位圓u2+v2=1上任一點(diǎn)P(-cosx,-sinx)與定點(diǎn)C(3，1)連線斜率的最值.如圖1所示，由切線性質(zhì)可求得，kAC=0,kBC=34，由圖可知，kAC≤kPC≤kBC，所以fmax(x)=kBC=34,fmin(x)=kAC=0.

評(píng)注：有些問題具有幾何背景，用常規(guī)方法較難解決，而類比構(gòu)造其幾何意義，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，通過構(gòu)造平面解析幾何模型，直觀地反映元素之間的關(guān)系，使問題快速獲解.

例7 已知sinA+sin(A+B)+cos(A+B)=3,B∈［π4,π］，求B的值.

析解：由已知可得(sinB+cosB)cosA+(1+cosB-sinB)sinA-3=0,構(gòu)造直線(sinB+cosB)x+(1+cosB-sinB)y-3=0和圓x2+y2=1，顯然點(diǎn)(cosA,sinA)既在直線上又在圓上，所以圓心(0，0)到直線的距離小于等于半徑，即

|0+0-3|(sinB+cosB)2+(1+cosB-sinB)2≤1，得cosB≥sinB,又B∈［π4,π］，所以cosB≤sinB,得cosB=sinB,故B=π4.

評(píng)注：對(duì)各量關(guān)系不明確的問題，創(chuàng)造性地構(gòu)造與之相關(guān)的平面解析幾何模型，凸現(xiàn)各元素之間的內(nèi)在聯(lián)系，揭示問題的實(shí)質(zhì)，使問題變得簡(jiǎn)單明了.

例8 解不等式組：

12<2cosθ+sinθ<1(θ∈R).

析解 考慮到(2cosθ)24+sin2θ=1,故可構(gòu)造橢圓模型來解.

設(shè)x=2cosθ,y=sinθ，則原不等式化為

x24+y2=1,

12

最后利用正弦線和余弦線可知原不等式的解集為(2kπ+π2,2kπ+π-arcsin1+21910)∪(2kπ+arcsin1-21910,2kπ-arccos45)(k∈Z).

評(píng)注：將求解三角不等式(組)的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為兩曲線之間的位置關(guān)系，借助圖形求解，具有直觀、簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn).

三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，其特點(diǎn)是脈絡(luò)清晰、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、公式眾多，解題方法技巧性強(qiáng)，數(shù)學(xué)思想要求高，而且與其他數(shù)學(xué)分支聯(lián)系緊密.構(gòu)造法為解釋這種內(nèi)在聯(lián)系提供了方法上的保證，有意識(shí)地進(jìn)行訓(xùn)練，能加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文