立體幾何中的軌跡問題

胡燕麗

近幾年高考命題改革的一個重要方向是“在知識網絡交匯點處設計試題”.軌跡問題往往是在解析幾何中所涉及的，那么立體幾何中的軌跡問題應該如何處理呢?它與解析幾何中的軌跡問題有什么聯系嗎?下面從不同的解題途徑來看立體幾何中的軌跡問題.

一、常見軌跡

立體幾何中的常見軌跡有：

(1)到一個定點的距離等于定長的點的軌跡是球面.

(2)到一條定直線的距離為定長的點的軌跡是底面半徑為定長的圓柱面.

(3)到一個平面的距離為定值的點的軌跡是兩個平行平面.

例1 直線m與平面α間距離為h，那么到直線m與平面α的距離都為2h的點的集合為().

A.一個平面 B.一條直線

C.空集 D.兩條直線

分析：到直線m的距離為2h的點的集合是一個圓柱面，而到平面α的距離為2h的點的集合是兩個平行平面，所求軌跡就是兩曲面相交所得的兩條直線.故答案選D.

例2 已知平面α∥平面β，直線m在平面α內，點P∈m,α，β間的距離為8

，則在平面β內到點P的距離為10且到直線m的距離為9的點的軌跡是().

A.一個圓B.兩條直線

C.四個點D.兩個點

分析：答案為C.平面β內到點P的距離為10的點的軌跡是一個圓，β內到直線m的距離是9的點的軌跡是兩條平行直線，所以所求點的軌跡是他們的交點的集合.

二、空間軌跡平面化

“以空間圖形為載體的軌跡問題”將立體幾何，解析幾何，平面幾何巧妙而自然的交匯在一起，立意新穎，構思巧妙，極富思考性和挑戰性.

例3 (2004北京高考題)如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側面BB1C1C內一動點，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是().

A.直線 B.圓 C.雙曲線 D.拋物線

分析：因為C1D1⊥平面BC1，所以PC1即為點P到直線C1D1的距

離，于是問題轉化為在平面BC1內，點P到定點C1的距離與點P到直線BC的距離相等，根據拋物線的定義，動點P的軌跡應為過CC1的中點的拋物線.故應選D.

評注：本題主要考查拋物線的定義，線面垂直關系及點到直線的距離概念.

立意新，角度好，有創意.解決此問題的關鍵要善于把立體幾何中的距離問題轉化到同一平

面上的距離，再應用解析幾何的知識.

例4 兩根直立的旗桿相距10m，高分別是6m和8m，地面上的點P到兩旗桿頂的仰角相等，求P在地面上的軌跡.

分析：如圖2，BD=6,AC=8,∠BPD=∠APC,∴PD∶PC=BD∶AC=3∶4,以直線DC為

x軸，線段DC的中垂線為y軸建立直角坐標系，則D(-5，0)，C(5，0).設點P(x,y)，則(x+5)2+y2(x-5)2+y2=34,化簡整理得：7x2+7y2+250x+175=0，此方程對應的曲線為圓.

評注：求解“以空間圖形為載體的軌跡問題”的基本思路是：要善于把立體

幾何問題轉化到平面上，再聯合運用平面幾何、立體幾何、解析幾何等知識去求解，實現立

體幾何到解析幾何的過渡.

例5 設異面直線a,b成60°角，他們的公垂線段為EF，且|EF|=2，線段AB的長為4，兩端點A，B分別在a,b上移動.

(1)指出AB中點P的軌跡所在位置；

(2)求AB的中點P的軌跡.

分析：(1)如圖3，設EF的中點為O，而P為AB中點，故O，P在EF的中垂面上，

從而P點軌跡一定在EF的中垂面上.

(2)設A，B在面α的射影

為C，D.則由AP=PB=2得AC=BD=1.因為a∥OC,b∥OD，所以∠COD=60°.

如圖4，在平面α內，以O為原點，∠COD的角平分線為x軸的正半軸建立直角坐標系.令C(3t1,t1),D(3t2,-t2),則P點坐標(x,y)滿足x=32(t1+t2),y=t1-t22.因為CD=23,所以(3t1-3t2)2+(t1+t2)2=12,即x29+y2=1，故P點軌跡是EF的中垂面上以O為中心，長軸長為6，短軸長為2的橢圓.

評注：本題的關鍵是如何將動點在空間所滿足的條件轉化為動點在某個平面

內所滿足的條件，再利用解析法求軌跡.若把條件中“異面直線a,b成60°角”改成“異面直線a,b成90°角”，則P點的軌跡為圓.

三、空間問題向量化

我們知道，在空間直角坐標系下，直線l的標準方程為：x-x0X=y-y0Y=z-z0Z,平面的一般方程為：Ax+By+Cz+D=0(A，B，C不全為零)，以原點為球心的球面方程為：x2+y2+z2=r2.

例6 求到A(1，2，3)和B(2，-1，4)距離相等的點M的軌跡.

分析：由|AM|=|BM|，所以

(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=

(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2,化簡整理得：2x-6y+2z-7=0，所求點M的軌跡為一平面，而且是AB的垂直平分面.

例7 已知A(1，2，-1)，B(2，0，2)，在xOz平面內的點P到A與B的距離相等，求點P的軌跡方程.

分析：因為點P在xOz平面內，設P點坐標為(x,0,z)，由AP=BP有：

(x-1)2+(-2)2+(z+1)2=

(x-2)2+02+(z+2)2，整理得：x+3z-1=0，即點P在xOz平面上的軌跡方程為x+3z-1=0，軌跡為一條直線.

評注：本題也可利用上題的結論，到兩定點距離相等的點的軌跡是一個平

面，又在xOz平面上，所以點P的軌跡是兩個平面的交線，即直線.

通過這類問題的解決，有利于培養學生綜合運用數學知識的能力，也有利于培養學生分類討論、化歸等數學意識及創新意識.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文