芻議信息遷移題的幾種信息加工模式

王　菁

近年來信息遷移題一直是數學高考與競賽中考查學生能力的主要題型之一，它有利于考查學生即時自學、捕捉信息、信息加工和合理遷移的能力，也有利于考查學生靈活運用基礎知識分析、解決實際問題的綜合能力.在解決此類題型時，務必做到四要：一要仔細審題，捕捉信息，特別是關鍵信息，為解決問題找到突破口；二要對呈現的大量信息進行簡約、篩選，從中提取有價值的重要信息；三要從題中給予的信息中通過概括、整理、提煉，尋覓出新知識或新方法；四要充分發揮聯想，廣泛建立聯系，由此及彼，由表及里，或類推、或拓展，善于知識遷移.筆者進而研究認為，根據信息遷移題的特點，信息遷移題可歸納為簡約、類比、擴展、轉換及綜合等幾種信息加工模式.其解題步驟可概括為如下框圖.

1.簡約模式

信息遷移題中的信息往往比較密集，此時解題時應將無關的和干擾的信息剝去，做到刪繁就簡，使冗長的陳述簡明化，讓問題的已知條件、待求的結論明顯化.

例1 (06年北京高考題(理))如圖1為某

三岔路口交通環島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進出路口A、B、C的機動車輛數如圖所示，圖中x1,x2,x3分別表示該時段單位時間通過路段AB，BC，CA的機動車輛數(

假設：單位時間內，在上述路段中，同一路段上駛入與駛出的車輛數相等)，則().

A.x1>x2>x3 B.x1>x3>x2

C.x2>x3>x1 D.x3>x2>x1

分析：本題應遴選出“駛入與駛出車輛相等”這一關鍵條件，分別設A、B、C三處未知車輛數為m、n、k，則x1=20+n=50+m,

x2=30+n=35+k,

x3=55+m=30+k,可得m=k-25，代入得x1=25+k,

x2=35+k,

x3=30+k,其中m、n、k∈N*，故選C.

評注：解答這種題型時考生的思維障礙往往在于對建立在實際生活之上的問題載體的理解.而這種來源于現實生活的背景新穎的創新題往往在敘述時比較冗長，要求考生有較好的閱讀理解能力與辨別、抓住核心信息并進行推理變形的能力，由此達到化繁雜為簡易的目的.

2.類比模式

類比推理是人的抽象邏輯思維的一種主要形式.從形式邏輯的角度來看，類比推理就是根據兩個(或兩類)對象在某些屬性上相同或相似，而且已知其中的一個(或一類)對象還具有其他

特定屬性，從而推出另一個(或另一類)對象也具有該特定屬性為結論的推理.運用這種推理來解決問題的模式即為類比模式.它的邏輯形式可以表示為：對象A具有屬性a、b、c、d；對象B具有屬性a、b、c，所以對象B也具有屬性d.

例2 (05年上海高考題)用n個不同的實數a1,a2,…，an，可得到n!個不同的排列，以每個排列為一行寫成一個n!行的數陣，對第i行ai1,ai2…，ain，記bi=-ai1+2ai2-3ai3+…+(-1)nnain,i=1,2,3…，n!.例如用1，2，3可得到如下數陣(如圖2所示)：

由于數陣中每一列各數之和都是12，所以b1+b2+…+b6=-12+2×12-3×12=-24,那

么在用1，2，3，4，5形成的數陣中，b1+b2+…+b120= .

分析：由1，2，3三個數組成的數陣的計算，我們可以知道數陣每一列之和是相等的，設這個和數為S.因為每一個數在數陣中某一列出現的次數是相等的，所以每一個數在一列出現的次數為n!n=(n-1)!，故S=(n-1)!(a1+a2+…+an),而

且b1+b2+…+bn!=-S-2S-3S+…+(-1)n·n·S.

由1，2，3，4，5形成的數陣中，b1+b2+…+b120=-360+2×360-3×360+4×360-5×360=-1080.

評注：類比模式有數形之間的類比、平面與空間之間的類比、具體與抽象之間的類比、特殊與一般之間的類比等等，而解決問題A，由某種相似性聯想到已解決的問題B，而問題B的解決方法對解決問題A有啟發，這就是解題思想方法的類比遷移.

3.擴展模式

問題的難易不在于題中陳述信息的多少，即閱讀量的大小，而在于內涵的深淺和思路的曲直.有些題目陳述指向目標的特征信息“凝聚”在個別詞句中，有的是意在不言中，極為隱蔽的，這就需要我們結合具體問題細細推敲、逐句發掘有用信息，從多角度思考分析，力求做到上下兼顧，前后呼應，逐級引申，多向擴展，反復論證，直到問題的解決.

例3 (06年上海高考題)三個同學對問題“關于x的不等式x2+25+|x3-5x2|≥ax在［1，12］上恒成立，求實數a的取值范圍”提出各自的解題思路.

甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”.

乙說：“把不等式變形為左邊含變量x的函數，右邊僅含常數，求函數的最值”.

丙說：“把不等式兩邊看成關于x的函數，作出函數圖像”.

參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，即a的取值范圍是 .

分析：采用乙的思路.∵x∈［1，12］，∴原題等價于x+25x+|x2-5x|≥a在［1，12］上恒成立，下面求函數y=x+25x+|x2-5x|的最小值.

∵x+25x≥10(當且僅當x=5∈［1，12］時，取最小值10，而此時|x2-

5x|=0)，

∴當x=5時，函數y=x+25x+|x2-5x|的最小值為10.從而原題所求a的取值范圍是(-∞，10］.

評注：本題在傳統題型的基礎上糅合了三種可能的解題思路.既考查了明辨

是非的能力，也考查了分析問題時思路的靈活性和深刻性.筆者認為為什么不采用另外兩條思路的原因在于：就甲說的而言，能否在取同一值時取得最值值得討論；就丙說的而言，要準確無誤作出函數y=x2+25+|x3-5x2|的圖像比較困難；只有乙說的是常規思路，但如果觀察不出x+25x與|x2-5x|在同一處取得最小值這一隱含的細節，求解過程也會很復雜.

4.轉換模式

數學現象豐富多彩，千變萬化，許多截然不同的問題有時可用相同的形式表述，同一問題也可以用不同的形式體現.當你面臨陌生的數學問題概念模糊或自己不易把握時，可嘗試用自己熟悉的方式去描述，多次嘗試，不斷調整方向和層次，直到問題清晰明白為止.通過轉換，可將一個陌生的問題變成一個熟悉的問題，一個未知量轉換為較易認識的另一個變量，一個實際問題轉化為一個典型的數學模型.

例4 (06年湖北高考題(理))將楊輝三角中的每一個組合數Crn都換成1(n+1)Crn，就得到一個如下圖3所示的分數三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出，1(n+1)Crn+1(n+1)Cxn=1nCrn-1,其中x= .令an=13+112+130+160+…+1nC2n-1+1(n+1)C2n，則

分析：由上圖聯想熟悉的楊輝三角問題，通過對比可發現在萊布尼茨三角形中，每個數都等于它腳下兩數字之和，則x=r+1.而1(n+1)C2n=2(n+1)·n·(n-1)=1n-1-2n+1n+1,∴an=13C22+14C23+15C24+…+1(n+1)C2n=(1-22+13)+(12-23+14)+(13-24+15)+…+(1n-1-2n+1n+1)=1-12-1n+1n+1.故limx→∞an=12.

評注：解答這種題型時考生的思維障礙往往在于類比推理和轉換能力不強，導致解題過程中無從著手或發生錯誤.另外，我們還可以看出它主要考查考生的知識遷移能

力、化簡變形能力和觀察問題分析問題的能力.并且往往要求從表中、圖中或條件中看出其

中的規律，通過轉換后再進行求解.

5.綜合模式

對于那些信息容量大，題面錯綜復雜的“謎語”題，則要求學生綜合運用科學方法(提取有效信息、聯系已學知識、構建思維模型等)，對題目信息進行深加工，去粗取精，去偽存真

，創造性地揭開謎底.

例5 (06年北京高考題(理))在數列{an}中，若a1,a2是正整數，且an=|an-1-an-2|,n=3,4,5,…，則稱{an}為“絕對差數列”.

(1)舉出一個前五項不為零的“絕對差數列”(只要求寫出前十項)；

(2)若“絕對差數列”{an}中，a20=3,a21=0,數列{bn}滿足bn=an+an+1+an+2,n=1,2,3…，分別判斷當n→∞時，an與bn的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；

(3)證明：任何“絕對差數列”中總含有無窮多個為零的項.

分析：(1)a1=3,a2=1,a3=2,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0,a10=1.(答案不惟一)

(2)結合(1)分析數列{an}的周期性規律可知，當n→∞時，an的極限不存在.當n≥20時，bn=an+an+1+an+2=6,所以lim→∞bn=6.

(3)根據定義，數列{an}必在有限項后出現零項.證明如下：

假設{an}中沒有零項，由于an=|an-1-an-2|，所以對于任意的n，都有an≥1，從而當an-1>an-2時，an=an-1-an-2≤an-1-1(n≥3)；當an-1

令cn=a2n-1(a2n-1>a2n),

a2n(a2n-1

由于c1是確定的正整數，這樣減少下去，必然存在某項cn<0，這與cn>0(n=1,2,3，…)矛盾.從而{an}必有零項.若第一次出現的零項為第n項，記an-1=A(A≠0)，則自第n項開始，每三個相鄰的項周期地取值0，A，A，即an+3k=0,

an+3k+1=A,

an+3k+2=A,k=0,1,2,3…，所以絕對差數列{an}中有無窮多個為零的項.

評注：解答這一題型時，考生的思維障礙往往在于閱讀能力的欠缺以及轉譯成數學語言的過程中發生差錯.但這種題型往往新穎別致，別具匠心，重點考查了學生的數

學閱讀理解能力與綜合運用數學知識解決問題的能力，具有較強的考查效果.

信息遷移題具有極強的生命力，它能很好地考查學生的綜合實力，并具有較大的區分度，因而常考常新.解答時要求學生必須具備扎實的基本功，具有良好的心理素質和科學的數學思想方法，才能掌握信息遷移題的內涵與精髓，并能在解題中有所創新.

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