例說化歸思想在解題中的應(yīng)用

陳明娟

在解題的過程中，有意識(shí)地將生疏、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡(jiǎn)單的問題來處理的思維方式就是化歸思想，它是一種重要的數(shù)學(xué)思想，下面例說化歸思想在解題過程中的應(yīng)用.

一、正逆轉(zhuǎn)換

數(shù)學(xué)中不少概念、運(yùn)算和符號(hào)、思維方式是互逆的.如加減、乘除、乘方與開方、指數(shù)與對(duì)數(shù)、原函數(shù)定義域與反函數(shù)的值域、直接法和間接法、正向思維和逆向思維等等.例1 已知a,b,c為實(shí)數(shù)，A=a+2-2b+π2,B=b+2-2c+π3,C=c+2-2a+π6,試證A、B、C中至少有一個(gè)值大于0.(2000年北京初中競(jìng)賽題)

析解：若按A、B、C中有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)大于0分類求解十分繁雜，為此，須改證其等價(jià)命題A+B+C>0，則知原命題必成立.因?yàn)锳+B+C=(a-1)+2+(b-1)+2+(c-1)+2+π-3>0，所以A、B、C中至少有一個(gè)值大于0.

二、類似轉(zhuǎn)換

數(shù)學(xué)中有許多概念和公式或形狀類似或意義類似，如方程與方程組、方程與函數(shù)、相似與全等，等等.這些關(guān)系總有著千絲萬縷的聯(lián)系，可利用題設(shè)特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例2 已知：m1=a+ba-b,m2=c+dc-d,m3=ac-bdad+bc,求證：m1+m2+m3=m1m2m3.

分析：將表達(dá)式適當(dāng)變形，m1=a+ba-b=1+(ba)1-(ba),m2=1+(dc)1-(dc),m3=1-(bdac)(dc)+(ba),發(fā)現(xiàn)其外形與三角正切公式神似，通過換元，促其轉(zhuǎn)換.

證明：令tanα=ba,tanβ=dc,則m1=1+(ba)1-(ba)=tan(45°+α),同理：m2=tan(45°+β),m3=1-tanα5tanβtanα+tanβ=cot(α+β)=tan［90°-(α+β)］,又∵(45°+α)+(45°+β)+［90°-(α+β)］=180°，∴tan(45°+α)+tan(45°+β)+tan［90°-(α+β)］=tan(45°+α)tan(45°+β)tan［90°-(α+β)］,即：m1+m2+m3=m1m2m3.

三、特殊與一般轉(zhuǎn)換

探求一般性問題，往往先從簡(jiǎn)單情形或特殊情況入手，先解決特殊性，通過聯(lián)想，以求得一般性解答方案或途徑.但有時(shí)某些特殊性問題由于條件隱蔽且計(jì)算量大，于是不妨先將其抽象成一般的命題，證明其正確性，然后再返回到特殊命題中.

例3 計(jì)算1995+3-2×1995+2-19931995+3+1995+2-1996.

(2000年北京市初中競(jìng)賽題)

解：設(shè)1995=a，則原式=a+3-2a+2-(a-2)a+3+a+2-(a+1)=(a-2)(a+2-1)(a+1)(a+2-1)=19931996.例4 如圖1，△ABC中，AB=AC=2,BC上有100個(gè)不同的點(diǎn)Pi(i=1,2,……，100)，記mi=AP+2i+BPi5PiC，求m1+m2+…+m{100}的值.(1990年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

析解：取特殊點(diǎn)探索，當(dāng)Pi為點(diǎn)B或C或BC中點(diǎn)D時(shí)，均有mi=4，故可猜想mi=4.事實(shí)上，作AD⊥BC于D，則BD=DC,設(shè)BD=DC=a,PiD=b,則mi=AP+2i+(a-b)(a+b)=AP+2i-b+2+a+2=AD+2+BD+2=AB+2=4，所以m1+m2+…+m{100}=400.

四、整體與局部轉(zhuǎn)換

整體觀察、整體代入、整體變形等都是從整體的角度上考慮，如果把整體分成若干個(gè)簡(jiǎn)單、局部的問題，然后再分而治之，逐個(gè)擊破.如分類討論，染色法等都是“化整為零”的具體表現(xiàn)形式.

例5 已知n>2(n∈N)，證明：1n+1(1+13+15+……+12n-1)>1n(12+14+……+12n).(1984年蕪湖競(jìng)賽試題4)分析：這是一個(gè)與n有關(guān)的不等式證明問題，我們把其轉(zhuǎn)化成局部問題，逐一論證各個(gè)局部問題，找出規(guī)律，最終使問題得到解決.

證明：12=12,13>14,15>16,…，12n-1>12n,12>(12)+(14)+……+(12n)n,將上述各式相加，則有：1+13+15+……+12n-1>n+1n(12+14+……+12n),即1n+1(1+13+15+……+12n-1)>1n(12+14+16+

……+12n).

五、數(shù)形轉(zhuǎn)換

數(shù)與形是一個(gè)不可分割的兩個(gè)數(shù)學(xué)概念，在解答代數(shù)問題時(shí)，可據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及幾何意義，將數(shù)轉(zhuǎn)換成圖形問題，以形助數(shù)；另一方面，對(duì)于幾何圖形，也可利用圖形特點(diǎn)轉(zhuǎn)換成代數(shù)問題，以數(shù)解形.

例6 正數(shù)x、y、z滿足方程組[JB({]x+2+xy+y+23=25,=y+23+z+2=9,=z+2+xz+x+2=16.[JB)]試求：y+2yz+3xz的值.(1994年全國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)解：依題設(shè)條件構(gòu)造如圖2，其中∠ROP、

∠POQ、∠QOR分別為150°、90°、120°，OR、OP、OQ分別為x,y3,z，由已

知方程組及余弦定理、勾股定理可求得RP、PQ、QR的平方分別為25、9、16.又在△PQR中，PR+2=PQ+2+QR+2，于是∠PQR=90°，從而S{△PQR}=S{△POR}+S{△POQ}+S{△QOR}=xy23sin150°+yz23+12xzsin120°=xy43+yz23+3xz4=(xy+2yz+3xz)43=6,∴xy+2yz+3xz=243.

評(píng)注：若通過解方程組來求值，則會(huì)陷入消元的復(fù)雜運(yùn)算之中，將數(shù)式轉(zhuǎn)化為形，利用三角形性質(zhì)使求值變得簡(jiǎn)單.

例7 在△ABC中，AB=9，BC∶AC=40∶41，則點(diǎn)C與直線AB的最遠(yuǎn)距離是多少?(第十屆美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)

分析：這是一個(gè)“形”的問題，若局限于三角形中考慮很難成功，由題可知：C點(diǎn)可看作到兩定點(diǎn)A、B距離之比為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)，若建立直角坐標(biāo)系，則可求出C點(diǎn)軌跡，

軌跡上的點(diǎn)到AB的最遠(yuǎn)距離不難求出，實(shí)現(xiàn)了以數(shù)解形的目的.解：如圖3建立坐標(biāo)系，設(shè)C(x,y)，則有(x-92)+2+y+2(x+92)+2+y+2=4041化簡(jiǎn)整理得：(x-328118)2+y+2=(16409)+2，易知當(dāng)x=328118時(shí)，|y|{max}=16409.

六、數(shù)元轉(zhuǎn)換

數(shù)與元是一對(duì)矛盾，但在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)換，某些數(shù)學(xué)問題求解困難處于“疑無路”時(shí)，若巧妙將數(shù)與元實(shí)施轉(zhuǎn)換，則會(huì)很快地“柳暗花明”.

例8 求出所有正整數(shù)a，使得二次方程ax+2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一個(gè)整數(shù)根.(第三屆“祖沖之”杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽).

析解：本題是關(guān)于x的二次方程，用求根公式或韋達(dá)定理處理較繁，若將主元與常數(shù)a實(shí)施轉(zhuǎn)換，則十分方便，因a是正整數(shù)，易得：a=2x+12(x+2)+2≥1(x≠-2)，即x+2+2x-8≤0，故-4≤x≤2，所以x=-4,-3,-1,0,1,2，從而有a=1,3,6,10.

七、動(dòng)靜轉(zhuǎn)換

動(dòng)與靜是對(duì)立的兩個(gè)方面，有時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)問題中靜止元素實(shí)施運(yùn)動(dòng)，則可將原問題轉(zhuǎn)換為數(shù)量關(guān)系，使求解十分方便.例9 如圖4兩個(gè)半圓中，大圓的弦與小圓相切，且AB∥CD,AB=4，求陰影部分面積.

析解：圖4中較難發(fā)現(xiàn)兩個(gè)半徑與已知弦AB的關(guān)系，若將靜止小圓移動(dòng)，使兩半圓的圓心重合，如圖5，易知兩圖中陰影部分面積不變，則S陰=12π(R+2-r+2)=12π(AB2)+2=2π.

八、式與方程轉(zhuǎn)換

某些代數(shù)式的求值計(jì)算難以奏效，若將式的運(yùn)算轉(zhuǎn)換為方程的求解，則十分簡(jiǎn)捷.

例10 (1996年北京初中聯(lián)賽試題)化簡(jiǎn)2+3+2-3結(jié)果是().

A.6 B.2 C.2 D.6-2

析解：本題直接開方不便，構(gòu)造方程x=2+3+2-3，則x+2=6,而x>0,∴x=6，故選A.

總之，數(shù)學(xué)中化歸思想的應(yīng)用十分廣泛，除了以上幾個(gè)方面的轉(zhuǎn)化，還有實(shí)數(shù)與虛數(shù)的轉(zhuǎn)化，高次與低次的轉(zhuǎn)化，無限與有限的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化等.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文