對一個優美不等式猜想的否定

王明建　王桂花

文［1］、［2］給出了一對非常優美的姐妹不等式：

設a、b、c都是正數，且a+b+c=1,則有：

(1b+c-a)(1c+a-b)(1a+b-c)≥(76)3 (1)

(1b+c+a)(1c+a+b)(1a+b+c)≥(116)3 (2)

當且僅當a=b=c=13時取等號.

文［3］把(1)推廣到n元的情形，設ai(i=1,2,…，n)都是正數，且∑ni=1ai=1(n≥2),則有

∏ni=1(11-ai-ai)≥(n2-n+1n(

n-1))n (3)

并給出了證明.

關于不等式(2)，文［1］提出的猜想是：

設ai(i=1,2,…，n)都是正數，且∑ni=1ai=1(n≥2)，則有∏ni=1(11-ai+ai)≥(n2+n-1n(n-1))n(4)

當且僅當a1=a2=…=an=1n時取等號.

此猜想不成立，現舉出反例如下：

當n=4時，我們取a1=a2=0.49,a3=a4=0.01,此時，左邊=∏ni=1(11-ai-ai)=(10.51+0.49)2(10.99+0.01)2=6.25023774…<6.26.

而右邊=(nn-1+1n)n=(43+14)4=(1912)4=6.28479038…>6.28.

因為6.26<6.28，所以，左邊<右邊.

即當n=4時，不等式(2)的推廣式不成立.

我們從極限的角度來思考，當n>3時，取x1=x2→0.5,x3=x4=…=xn→0,對左邊取極限，有

limxi→0.5∏2i=1(11-xi+xi)·limxi→0∏ni=3(11-xi

+xi)=2.52×1n-2=6.25.、而當n取正整數，且趨于無窮時，對右邊取極限，有limn→+∞(1+2n-1n(n-1))n=e2=7.38904616….

所以，當n>3時，不等式(2)不一定成立.

參考文獻

［1］魏烈斌.不等式中的一對姐妹花［J］.數學通訊.湖北.2007，5.P45-46.

［2］趙思林，潘超.一個不等式的簡捷證明［J］.中學數學研究.江西，2007，10.P12-13.

［3］王明建.一個優美不等式的推廣及證明［J］.中學數學研究.江西，2008，2.P17-18.

［4］匡繼昌.常用不等式［M］.山東科學技術出版社.2004，1.P10-11.

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