一類全等拋物線有關的一組優美性質

吳賽瑛

文［1］介紹了相似橢圓的一組性質，文［2］將文［1］的性質推廣到雙曲線上，并增加了一些優美性質.筆者讀后深受啟發，考慮拋物線上是否有類似的性質?答案是肯定的.故本文給出一類全等拋物線的一組性質，敘述如下：

為了行文方便，本文約定拋物線C1的方程為y2=2px(p>0)，拋物線C2的方程為y2=2p(x-a)(p>0,a>0).顯然C2是由C1向右平移a個單位得到的，故C1與C2全等.

定理1 如圖1所示，過拋物線C2上任一點P引C2的切線l交拋物線C1于A，B兩點，則|PA|=|PB|.

證明：設點P的坐標為(x0,y0)，A，B的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2).

①若y0=0，定理1顯然成立；

②若y0≠0，則過點P的切線l的方程為y-y0=py0(x-x0).聯立

y-y0=py0(x-x0)，

y2=2px，消去x可得y2-2y0y+y20-2pa=0.從而y1+y2=2y0，故易得|PA|=|PB|.綜上得，定理1成立.

定理2 如圖2所示，若直線l與拋物線C1交于A，B兩點，與拋物線C2交于C，D兩點，則|AC|=|BD|.

證明：設直線l方程為my=x+b，A，B的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2)，線段AB的中點為N(x0,y0).聯立my=x+b， y2=2px,消去x可得y2-2pmy+2pb=0.從而有

x0=12(x1+x2)=pm2-b，

y0=12(y1+y2)=pm，即線段AB的中點為(pm2-b,pm).同理可得線段CD的中點為(pm2-b,pm)，于是線段AB、CD中點重合.故有|AC|=|BD|，即定理2得證.

定理3 如圖3所示，若點P為拋物線C2上任意一點，過點P引拋物線C2的切線交拋物線C1于A，B兩點，過點A，B分別引拋物線C1的切線交于點Q，則

(1)點Q的軌跡方程為y2=2p(x+a)(p>0,a>0);

(2)△ABQ的面積為定值.

證明：設點P的坐標為(x0,y0)，切點A，B的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2).

(1)①若y0=0，易求點Q坐標為(-a,0)；

②若y0≠0，則過點P的切線l的方程為

y-y0=py0(x-x0).

聯立y-y0=py0(x-x0)，

y2=2px,消去x可得

y2-2y0y+y20-2pa=0.利用求根公式可得y=y0±2pa,另外由韋達定理可得

y1+y2=2y0，

y1y2=y20-2pa.不妨設點A的縱坐標為y0+2pa，則有A((y0+2pa)22p,y0+2pa),B((y0-2pa)22p,y0-2pa).在拋物線C1上，過點A的切線方程為y-(y0+2pa)=py0+2pa(x-(y0+2pa)22p),化簡得px-(y0+2pa)y+(y0+2pa)22=0.

同理有，過點B的切線方程為px-(y0-2pa)y+(y0-2pa)22=0.

聯立兩切線方程可求得其交點Q的坐標為(y202p-a,y0)，易得點Q的軌跡方程為y2=2p(x+a)(p>0,a>0)，顯然(-a,0)也滿足方程.

(2)①若y0=0，易求S△ABQ=a8pa;

②若y0≠0，由(1)得|AB|=1+y20p2·(y1+y2)2-4y1y2=p2+y20p·8pa.而直線AB的方程為：y-y0=py0(x-x0)，即px-y0y+y20-px0=0.故點Q到切線AB的距離為2pap2+y20.從而有S△ABQ=12·p2+y20p·8pa·2pap2+y20=a8pa.

綜合(1)(2)可得，定理3成立.

參考文獻

［1］張勇赴.相似橢圓的一組性質.數學通訊，2006(13).

［2］楊軍.相似雙曲線的一組優美性質.數學通訊，2007(1).

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文