若干三元不等式的簡證和推廣

宋　慶

本文旨在給出近年國內(nèi)中學數(shù)學期刊出現(xiàn)的幾個三元不等式的簡單證明和推廣.

命題1 設a,b,c是正數(shù)，且a+b+c=1,則有(1b+c-a)(1c+a-b)(1a+b-c)≥(76)3.

以上不等式最早刊登在《數(shù)學通訊》2007年第5期，本刊2007年第10期P12-13上給出了一個簡捷證明，受其啟發(fā)，筆者有一個改進的簡單證法(僅用到均值不等式).

證明：令b+c=x,c+a=y,a+b=z，則x,y,z為正數(shù)，且x+y+z=2.于是，1b+c-a=(x+49x)+59x-1≥2x·49x+59x-1=19(5x+3).

(1b+c-a)(1c+a-b)(1a+b-c)≥193·(5x+3)(5y+3)(5z+3)=193［53+6·52xyz+32·5·(1x+1y+1z)+33］≥193［53+6·52(x+y+z3)3+32·5·9x+y+z+33］=(76)3.

命題2 設a,b,c為正數(shù)，則有(a2+2)·(b2+2)(c2+2)≥3(a+b+c)2.

這是2004年亞太地區(qū)數(shù)學奧林匹克題5的加強，本刊2007年第10期P48-49給出了一個證明.下面，筆者提供兩種簡證.

證明1：因a2-1、b2-1、c2-1中必有兩個非負或非正，故不妨設(b2-1)(c2-1)≥0，于是(b2+2)(c2+2)≥3(b2+c2+1).

由上式及柯西不等式，得(a2+2)(b2+2)·(c2+2)≥3(a2+1+1)(1+b2+c2)≥3(a+b+c)2.

證明2：因2(bc-1)2+(b-c)2≥0，故(b2+2)(c2+2)≥3［(b+c)22+1］.

(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥3(a2+2)·［(b+c)22+1］=3［a2+(b+c)2+a2(b+c)22+2］≥3［a2+(b+c)2+2a(b+c)］=3(a+b+c)2.

命題3 已知a,b,c為滿足a+b+c=1的非負實數(shù)，則有a+14(b-c)2+b+c≤3.

這是2007年中國女子數(shù)學奧林匹克題6，《中學數(shù)學》2007年第12期P35-36刊登了兩種證法尤以證法1的構思令人叫絕，下述證法亦不遜色.

證明：原不等式等價于(3-b-c)2≥a+14(b-c)22(b+c)+2bc-23(b+c)+2≥14(b-c)2(b-c)2+［3(b+c)-2］2≥12(b-c)2(b-c)2≥12(b-c)2(b-c)2［2-(b+c)2］≥0,

而(b+c)2≤2(b+c)≤2(a+b+c)=2，故原不等式成立.

2004年泰國數(shù)學奧林匹克試題(參見本刊2007年第3期P45)：設a,b,c是不同的實數(shù)，證明：(2a-ba-b)2+(2b-cb-c)2+(2c-ac-a)2≥5.

推而廣之，筆者獲得

命題4 若a,b,c是不同的實數(shù)，則對λ≥2，有(λa-ba-b)2+(λb-cb-c)2+(λc-ac-a)2≥2λ+1.

證明:令x=aa-b,y=bb-c,z=cc-a,則(x-1)(y-1)(z-1)=xyz，從而可得x+y+z=yz+yx+xy+1.

(λa-ba-b)2+(λb-cb-c)2+(λc-ac-a)2=［(λ-1)x+1)］2+［(λ-1)y+1)］2+［(λ-1)z+1)］2=(λ-1)2(x2+y2+z2)+2(λ-1)(x+y+z)+3=(λ-1)(x+y+z)2+(λ-1)(λ-2)(x2+y2+z2)+2λ+1≥2λ+1.

《中等數(shù)學》2007年第7期P10有題：設a,b,c∈R+，且abc=1,求12a+1+12b+1+12c+1的最小值.

一般化，我們有

命題5 若a,b,c是滿足abc=1的正數(shù)，則對λ≥2有1λa+1+1λb+1+1λc+1≥3λ+1.

證明：原不等式等價于(λ+1)［(λb+1)·(λc+1)+(λc+1)(λa+1)+(λa+1)(λb+1)］≥3(λa+1)(λb+1)(λc+1)(λ+1)［λ2·(bc+ca+ab)+2λ(a+b+c)+3］≥3［λ3+λ2(bc+ca+ab)+λ(a+b+c)+1］訐(λ-2)(bc+ca+ab)+(2λ-1)(a+b+c)≥3(λ2-1).

因λ(λ-2)(bc+ca+ab)+(2λ-1)(a+b+c)≥3λ(λ-2)3a2b2c2+3(2λ-1)3abc=3(λ2-1).故原不等式成立.

命題6 若a,b,c是正數(shù)，對則λ≥0有a3a2+λab+b2+b3b2+λbc+c2+c3c2+λca+a2≥a+b+cλ+2.

證明：a3a2+λab+b2=a-ab(λa+b)a2+λab+b2≥a-ab(λa+b)(λ+2)ab=a-λa+bλ+2,a3a2+λab+b2+b3b2+λbc+c2+c3c2+λca+a2≥a-λa+bλ+2+b-λb+cλ+2+c-λc+aλ+2=a+b+cλ+2.

λ=1時，命題6為2003年北京市中學生數(shù)學競賽高一復賽第二題.

命題7 若a,b,c是非鈍角三角形的三邊長，則對λ≥1有bcλb2+λc2-a2+ca·λc2+λa2-b2+abλa2+λb2-c2≥

2(2λ-1)λ+1λabc.

證明：因(λ+1)a2(λb2+λc2-a2)≤(λ+1)a2+λb2+λc2-a22=λ(a2+b2+c2)2，

故λb2+λc2-a2a≥2λ+1(λb2+λc2-a2)λ(a2+b2+c2).同理可得其余兩式，三式相加可得

λb2+λc2-a2a+λc2+λa2-b2b+

λa2+λb2-c2c≥2(2λ-1)λ+1λ.

所以，原不等式成立.

命題7推廣了《數(shù)學通報》2007年6月號問題1680.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文