讓學生學會發現、學會研究

管志炎　謝全苗

研究性學習不但是中小學課程改革的一個十分重要的話題，而且也是培養學生素質、提高創新能力的一條行之有效的途徑，更是提高(通常意義下的)教學質量的一個亮點.然而入門難，難在課堂教學中到底如何具體實施和把握?這就是擺在我們面前的一個亟待去思考、探索、實踐的課題.

其實，研究性學習從本質上講，就是把教學的主動權交給學生，讓學生在積極、主動的學習環境中，全神貫注、富有興趣地去實踐、理解、應用、探索和創新.其意義在于使學生經歷探索過程，讓學生學會發現、學會研究.教師應當為學生創設探索性的情境，以激發學生探究的欲望，同時還要提供有結構的材料，這些材料是學生實踐活動的對象，是引起和形成學生探究發現的工具和知識的載體.本文以數學新教材圓錐曲線(橢圓三定義、六方程)的教學研究性學習活動為例，談談筆者的認識和實踐，并就教于同行.

教學過程

1.精心設計實驗，創設創新情境

讓學生拿出課前準備好的一張紙板、一段細繩和兩枚圖釘，按課本要求畫橢圓.先用多媒體演示畫法，再讓學生自己動手，使學生嘗到發現的喜悅.固定繩的長為2a，兩圖釘間的距離為2c，通過改變圖釘間的距離，學生實踐得出結論：當c=0時是圓；當2a≥2c時是橢圓；當c→a時橢圓越來越扁平；當2a=2c時是一線段；2a<2c時，軌跡不存在.通過作圖實驗學生不難自己歸納出橢圓的定義.

在學生對橢圓概念有一個比較清晰認識的基礎上，進一步引導學生研究橢圓的軌跡方程.

2.還給學生思考空間，指導學生探索研究

T(教師，下同)：下面分小組進行討論研究，看哪一組先能推導出橢圓的軌跡方程，組際之間可以交流和互助，也可邀請老師一起討論、研究，最好不(但也可以)參考、借助課本的推導，看那一組能(希望有)有所發現、有所創新.到下節課請各組推薦出代表講講你們的研究和發現，即由代表提交并宣讀各自的研究報告(可用實物投影儀將小組的成果進行放映、展示).下面就請各小組開始各自研究討論.

S1(第三小組)：我們參考了課本，具體是(用實物投影儀展示結果)：

設M(x,y)是橢圓上任一點，橢圓的焦距為2c(c>0)，M與F1和F2的距離的和等于正常數2a，則F1、F2的坐標分別是(-c,0)、(c,0).

橢圓就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}.∵|MF1|=(x+c)2+y2,|MF2|=(x-c)2+y2,得方程

(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a.①

將這個方程移項，兩邊平方，得

a2-cx=a(x-c)2+y2.②

兩邊再平方，得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2.③ 整理，得

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).④

由橢圓定義可知，2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0.設a2-c2=b2(b>0)，整理，得

x2a2+y2b2=1(a>b>0).⑤

T：S1參考了課本并獲得了上述結果，是值得肯定的.現在我們來具體分析上述過程中每個環節(運算)的作用與意義：

(1)首先受數學美的驅使，使建立的坐標系、所設的點坐標都對稱和諧；(2)在推導中首先得到的①式事實上已是橢圓方程，但由于它不符合數學簡潔美的特性，因此需要簡化：因左邊是兩個根號之和，于是就可移項平方得到②式，整理后還有一個根號，于是再平方，進一步簡化得到④式；④式雖比①式簡單，但還是沒有達到數學美的最高境界，故用變量代換(補美思想)：設a2-c2=b2(b>0)得到⑤式(通過教師的講解，讓學生進一步明確了每一步運算的意義、作用和所以要這樣做的原因)，我們稱⑤式為：

S：橢圓的標準方程.

T：對!我們又為何要稱⑤式為橢圓的標準方程?

S：(學生答出簡潔美、對稱美等許多優點，略)

T：講得好!那么⑤式與圓的標準方程比較，又有什么不足呢?

S：(學生比較看出)：⑤式無法揭示出橢圓上一點到兩定點的距離之和等于2a這一本質屬性.

T：對!那么，在上述推導過程中，你看哪一步有這一特征呢?

S：(學生很快得出)：相比之下，①式正好有這一優點.

T：(教師趁勢追問)：講得好!現在大家再看從①式到⑤式的推導過程中又是在哪里失去了這一優點?至此學生便興味盎然地開始重新審視原推導過程，課堂氣氛也活躍起來，他們注意到：如果沒有對①式的移項、兩邊平方，就不能化簡、整理得到⑤式；而到了②式，由于再次平方，雖化簡得到⑤式，但卻失去了這一優點.這樣，大家便不約而同地把注意力集中到了②式.

這時，老師作為一個參與者與學生一起討論，并“恰當好處”地啟發、引導學生.

T(教師若有所思地發聲自問)：那到了②式，要是不再平方，而用其他辦法變形又會如何呢?這個辦法又是什么呢?請哪一組來講講?

S2(第二小組)：兩邊同除以a即可.

T：對!(并順手寫出)：a-cax=(x-c)2+y2.⑥

T：⑥式的右邊有什么特征嗎?

S2：⑥式的右邊有明顯的幾何意義，即動點M(x,y)到焦點F2(c,0)的距離.

T：那么⑥式的左邊也有明顯的幾何意義嗎?

S2：沒有.

T：為什么?

S2：在x前面有系數ca.

T：如何處理，才能使它也有明顯的幾何意義呢?

S2：把系數ca提出，并(考慮到距離)加絕對值.

T：對!提出系數ca，得ca(a2c-x)=(x-c)2+y2 ⑦，并整理為(x-c)2+y2|a2c-x|=ca.⑧

這是一個全新而又具有明顯幾何意義的關系式，也是一個不同于課本推導的新方法、新發現(為讓學生體驗發現和成功的喜悅，于是又自問)：

T：⑧式又有怎樣的幾何意義呢?

S：(學生們興高采烈，能基本完整地講出)：這是橢圓上的一個動點M(x,y)到焦點F(c,0)和定直線l:x=a2c的距離之比等于常數ca(a>c>0).

到了這里學生興奮極了，他們既感到滿足，又感到總欠完善，而又有點不達意之感，于是老師又問：那么，滿足⑧式的軌跡是橢圓嗎?

這時整個課堂的氣氛可活躍了，學生有的說是，有的說不是，也有的說不一定是，即使是也要證明.教師對后一種同學嚴謹的思維方式、習慣和前一種憑直觀得到結果的方法都從不同角度給以肯定，并帶著問題與學生一起去探索.這時再一起去看例子，并引入橢圓的第二定義，可謂是水到渠成，順水推舟了，這正是教材例子所要達到的教學目的.我們認為，這樣處理教材、設計教學，既加深了學生對曲線方程的純粹性和完備 性的理解，彌補了教材的不足，又兼顧了例子的目的要求，還讓學生手腦并用，使學生經歷了發現，體驗了成功.

此時，學生心情愉悅，一種成功感油然而生，并產生船到碼頭車到站——可以停一停了的感覺.這時老師是一個參與者，但更是一個導演，為引人入勝，故又趁熱打鐵，再次引導.

T：S2(第二小組)參考了教材的推導但又不拘泥于教材，對原推導過程中由②到③，變成由②到⑦，并由此得到一個全新的⑧，大膽進行了創新，并與大家一起得到橢圓的第二定義——這么一個好定義，這很好!現在我們一起來看看，在這一過程中是否還有什么可以挖掘的呢?誰能說說你的奇思妙想嗎?

S：剛才得到橢圓的第二定義，是否還可以再挖掘、得到橢圓的第三定義呢?

T：這個想法(猜想)很好，有道理!應該試試.哪一小組能證實這一猜想?

S3(第一小組)：原推導過程中，到了④式：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，再設a2-c2=b2(b>0)，整理，得x2a2+y2b2=1(a>b>0)⑤

如果不是設a2-c2=b2，進行整理，而是兩邊同除以a2-c2，則得到：a2y2a2-c2=a2-x2⑤′，即a2y2x2-a2=c2-a2.

兩邊再同除以a2,得y2x2-a2=e2-1.即

yx-a·yx+a=e2-1(-1

S：這時大家不約而同地說：⑥′式的幾何意義為：一個動點M(x,y)到兩定點(-a,0)、(a,0)的斜率的積等于常數e2-1(-1

橢圓的第三定義：平面內一個動點M(x,y)到兩定點A1(-a,0)、A2(a,0)的

斜率的積等于常數e2-1(-1

T：很好!大家通過自己的努力，得到了一個嶄新的橢圓的第三定義.真有意思!如果我們用它來解決教材P96第4題(新教材就補充此題)，那將十分簡捷：

△ABC的兩個頂點A、B的坐標分別是(-6，0)、(6，0)，邊AC、BC所在直線的斜率乘積等于-16，求頂點C的軌跡方程.

解：依上述定義可知頂點C的軌跡方程是橢圓，且a=6.∵e2-1=-b

2a2=-49,∴b2=16.故所求頂點C的方程為x262+y242=1(y≠0).

為了把這次研究性學習引向縱深，讓學生在嶄新的研究性學習中學到更多的與現實教學相關的內容，力爭在提高綜合運用能力的同時提高創新能力，以讓學生在扎扎實實的應試教育中，實實在在地提高創新能力.因此，及時地抓住學生探索、研究的契機，在研究了橢圓的三個定義的基礎上，進一步引導學生研究、發現橢圓(雙曲線)方程的六種形式，讓學生在新的層面上學會發現、學會研究.

3.抓住學生探索、研究的契機，讓學生在新的層面上學會發現、學會研究

T：前面我們一起研究了橢圓的三個定義，通過對原橢圓方程推導過程的控制、探索、研究，發現了許多寶貴的數學成果——橢圓的第二、三定義，使大家經歷了發現，體驗成功，然而，我們發現在方程的形式上我們未能進行探索.

例如，我們通過⑧：(x-c)2+y2|a2c-x|=ca，研究了橢圓的第二定義，但卻仍延用了原橢圓的標準方程，現在，我們是否能在方程的形式上進行研究，使它能像直線方程一樣也具有多樣性，并爭取有新的突破呢?換句話說就是方程中是否能不用原定義中表示長、短軸的參數a、b來表示，而用新定義(第二定義)中的準線參數m與離心率e來表示?

有了這一鋪墊，大家就立即著手進行解決.

S：設準線為x=±m(m>0)，離心率為e，則m=a2c,e=ca,c=e2m,由式⑧得：(x-e2m)2+y2|x-m|=e,

化簡得：(1-e2)x2+y2=e2m+2(1-e2),∵e≠1，兩邊同除以e2(1-e2)，

于是得：

x2e2+y2e2(1-e2)=m2.⑨

T：對!這就是焦點在x軸上的方程，我們稱它為橢圓的第二方程(統一式)，同理可得焦點在y軸上的橢圓的方程：y2e2+x2e2(1-e2)=m2.⑩

這兩個方程與橢圓的標準方程一樣對稱、優美，便于記憶.凡與離心率、準線相關的問題用它來解決十分簡捷.

T：那么第三定義下的方程又怎樣呢?(對此學生更是興趣盎然，并很快得出結果)：

S：由式⑥′：yx+a·yx-a=e2-1(-1

S：有點象，但這里沒有y0，即y2-y20=(e2-1)(x2-x20)能成立嗎?

T：問得好!這里，大家在比較中大家看出差異，進行了猜想：B11５囊話閌轎：y2-y20=(e2-1)(x2-x20).B12

T：那么，你能證明這個猜想成立嗎?

S：能，對原推導的④式：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)兩邊同除以a2得：y2=(e2-1)x2+b2.B13T：好!這個方程雖不是所求證的B12Ｊ劍它倒有點象直線方程中的斜截式：y=kx+b，歪打正著，可算是一個成果.但可以看到從原推導過程出發變形已難以得到B12Ｊ劍那我們是否可直接利用橢圓的標準方程來得到B12Ｊ僥?

經老師這么一鼓勵、提醒，學生就很快利用橢圓的標準方程來求得B12Ｊ劍

e2=c2a2=a2-b2a2 ①′

x20a2+y20b2=1 ②′

由①′得：b2=a2(1-e2),代入②，得：a2=x20+y201-e2,∴b2=(1-e2)x20+y20,把a2、b2代入橢圓的標準方程，整理即得y2-y20=(e2-1)(x2-x20).

T：對!這就是所求的B12Ｊ劍我們稱它為點離式，大家不難看出B11！ⅹB13＞褪仟B12５奶厥馇樾危即：

T：當P(x0,y0)=P(a,0)時，由B12Ｊ郊吹脃2=(e2-1)(x2-a2)B11＃同理，當P(x0,y0)=P(0,b)時，由B12Ｊ郊吹脃2=(e2-1)x2+b2B13 同樣，我們統稱B11！ⅹB13Ｎ離截式.

這時學生運用類比思想，又猜想說：

S：那么，是否也還能有個像直線方程一樣的兩點式呢?

T：這個猜想猜得好!有意思.下面請大家一起用橢圓的標準方程來證明這個猜想：

T：設P(x1,y1),Q(x2,y2)是橢圓上兩點，且|x1|≠|x2|,|y1|≠|y2|，則x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,∴b2a2=y22-y12x12-x22，又a2=b2+c2,e=ca,∴e2-1=y22-y12x22-x12.B14

由y2-y12=(e2-1)(x2-x12)得：

e2-1=y2-y21x2-x21，∴y2-y12x2-x12=y22-y12x22-x12，

即y2-y12y22-y12=x2-x12x22-x12.B15

T：對!這就是橢圓方程的兩點式.為讓學生繼續探索，教師提問：你還能將B14Ｊ劍篹2-1=y22-y12x22-x12變形并得到新的成果嗎?

S：設PQ的中點為M(x0,y0)，O是原點，則由B14５胑2-1=y2-y1x2-x1·y2+y1x2+x1=kPQ·yMxM=kPQ·kOM.

T：變得好!我們又得到新的成果：橢圓(雙曲線)的離心率與其弦的中點(或原點到中點的斜率)及斜率的關系式：

kPQ·yMxM=kPQ·kOM=e2-1(焦點在x軸上)B16,kPQ·yMxM=kPQ·kOM=1e2-1(焦點在y軸上).B17

學生們覺得在橢圓(雙曲線)方程中能獲得這些與直線方程這樣對應、和諧 的關系及在直線方程中所沒有的統一式，實在是太有意思了!這遠比原來在橢圓(雙曲線)方程中只有一個標準方程不知要豐富多少.事實上只要將直線方程中的量(常量或變量)中的“一次”改為“二次”；把k換成e2-1即得相應的橢圓(雙曲線)方程，真是奇妙的很!這是原本所沒有想象到的可喜成果，這種成功，驚喜、美妙的體驗將進一步激發學生去探索、研究的欲望，并從一個新的層面上去學會發現、學會研究.

以上通過對橢圓三定義、六方程的研究，使學生一次又一次經歷了探索、發現，體驗了成功，得到了許多創新成果.這是師生原本都沒有想象到的，也是傳統教學所不能達到的.

正如阿基米德所說：“如果給我一個支點，我就可以撬起整個地球”.研究性學習無疑正是這樣一個既能全面提高新世紀學生的整體素質和創新能力，并真正提高高中數學教學質量的支點，它將無疑為高中教學注入了新的活力，帶來了新的生機和希望.

參考文獻

［1］謝全苗.研究性學習在高三教學中的嘗試——橢圓(三個)定義教學一則，數學通訊.2002.19.

［2］吳永中.橢圓、雙曲線的點離式方程及其應用.中學數學(湖北)2000.4.

［3］孫大志.橢圓、雙曲線的統一方程的應用.中學數學月刊.1999.11.

［4］謝全苗.橢圓、雙曲線方程的第二定義的創新教學設計.中學數學教學參考.2001.10.

［5］羅必耀.橢圓、雙曲線方程的三種形式.中學數學月刊.2001.6

［6］謝全苗.與中學數學教師談數學教育理論對中學數學教學工作的幫助.數學通報.2000.6.

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