過兩圓交點的圓系方程的推導、拓廣及應用

李鳳華

數學高考科《考試要求》對于圓這部分，要求在內容上掌握圓的標準方程和一般方程，理解圓的參數方程；在能力上能根據所給條件選取適當的方程形式，利用待定系數法求出圓的方程，結合圓的幾何性質解決與圓有關的問題.由此可知，求圓系方程的問題無論是從方法上，還是從內容上都是教學中必須注意的問題.而這種問題通常的表現形式是：過兩個已知圓的交點，又滿足另外一個條件求圓的方程.例如，普通高中課程標準實驗教科書數學必修2第132頁習題4.2第4題“求圓心在直線x-y-4=0上，并且經過圓x²+y²+6x-4=0與圓x²+y²+6y-28=0的交點的圓的方程”，133頁第10題“求經過點M(2，-2)以及圓x²+y²-6x=0與圓x²+y²=4交點的圓的方程”.對于這種題型，我們若采用先解方程組求交點，再按待定系數法求解，運算量大，過程繁瑣，容易出錯.但若用過兩圓交點的圓系方程，便可避免解方程組，從而減少了運算量，提高了解題速度和準確率.但是在過兩圓交點的圓系方程的教學中，教師并不能從現有知識結構中給學生一個合理的邏輯解釋，只是告訴學生方程表示圓，此圓過兩圓的交點，所以許多學生懷疑過交點的所有圓其方程都可表示為這種形式.因此本文就圓系方程問題，從理論上給予證明和拓廣，并舉例說明圓系方程的妙用.