例析平面向量的幾個綜合應用的常規處理方法

邢　飛

2003年江蘇省高考自主命題以來，向量等新增內容的試題已成為高考試題的亮點.就向量部分的試題來看，基本上都是“以能力立意命題”，主要考查學生對抽象的向量符號的理解及靈活解決問題的能力.由于向量知識與三角函數、解析幾何等內容均有一種“天然”的聯系，因而高考在這些知識網絡的交匯處設計試題是必然的.然而，平時老師的教或同學們的學，由于受傳統教與學方法的影響，在知識的融會貫通方面做得不是很好，教學時往往割裂它們的聯系，本文試舉例說明平面向量與三角函數及解析幾何綜合問題的常規處理方法，以使這類綜合問題在平時的教學過程中能得到充分的重視.

例1 平面直角坐標系有點P(1，玞os玿),Q(玞os玿,1),x∈［-π4,π4］，O為坐標原點.(1)求向量OP吆蚈Q叩募薪鉛鵲撓嘞遙并表示成x的函數；(2)求θ的最值.

解：(1)由OP?OQ=|OP遼?|OQ遼?玞osθ，得2玞os玿=1+玞os2x?玞os2x+1?玞osθ，

∴玞osθ=2玞os玿1+玞os2x=f(x).

(2)玞osθ=f(x)=2玞os玿1+玞os2x=2玞os玿+1玞os玿,且x∈［-π4,π4］,∴玞os玿∈［22,1］.令u=玞os玿+1玞os玿=v+1v，其中v=玞os玿∈［22,1］.易證u=v+1v在［22,1］上單調遞減，∴v+1v∈［2,322］,就是2≤玞os玿+1玞os玿≤322,∴223≤f(x)≤1,即223≤玞osθ≤1.

∴θ玬ax=玜rccos223,θ玬in=0.

評注：例1主要是利用向量的數量積公式建立起玞osθ與x的函數關系式，將平面向量與三角函數綜合問題轉化為普通的函數最值問題，即利用y=x+mx型的函數性質求出最值.

平面向量與三角函數綜合問題主要是依托平面向量的數量積公式，通過形與數的互相轉化，實現有機整合.

例2 已知兩點M(-1，0)，N(1，0)，且點P使MP?MN擼琍M?PN擼琋M?NP叱曬差小于零的等差數列.(1)點P的軌跡是什么曲線?(2)若點P的坐標為(x0,y0)，記θ為PM哂隤N叩募薪牽求玹anθ.

分析：在引入向量的坐標表示后，可以使向量運算代數化，這樣可以將形”和“數”緊密地結合在一起.求解這類問題的關鍵是：先把向量用坐標表示，再用解析幾何知識結合向量數量積公式使問題獲解.

解：(1)記P(x,y)，由M(-1，0)，N(1，0)，得PM=-MP=(-1-x,-y),PN=-NP擢=(1-x,-y),∵MN=-NM=(2,0),∴MP擢?MN=2(1+x),∴PM?PN=x²+y2-1,NM?NP=2(1-x).由MP?MN擼琍M?PN擼琋M?NP呤槍差小于零的等差數列得x²+y2-1=12［2(1+x)+2(1-x)］,

2(1-x)-2(1+x)<0,即x²+y2=3,

x>0,∴點P的軌跡是以原點為圓心，3為半徑的右半圓(不含端點).

(2)∵點P的坐標為(x0,y0)，PM?PN=x02+y02-1=2，|PM遼?|PN遼=(1+x0)2+y02?(1-x0)2+y02=

(4+2x0)(4-2x0)=24-x02.

∴玞osθ=PM?PN遼PM遼|PN遼=14-x02,

∵0

評注：例2利用數量積的坐標運算公式整理出圓方程，從而得到軌跡，第二問又巧妙結合三角運算，不失為一道好題.

例3 一條斜率為1的直線l與離心率為22的橢圓C：x²a2+y2b2=1(a>b>0)交于P、Q兩點，直線l與y軸交于點R，且OP?OQ=-3,狿R=3RQ擼求直線l與橢圓C的方程.

解：∵橢圓離心率為22,∴ca=22,a2=2b2,所以橢圓的方程為x²2b2+y2b2=1.設l的方程為y=x+m，P(x1,y1),Q(x2,y2),

由x²2b2+y2b2=1,

y=x+m,消去y得3x²+4mx+2m2-2b2=0.△=16m2-4?3(2m2-2b2)=

8(-m2+3b2)>0,∴3b2>m2(*)

∴x1+x2=-43m①，

x1x2=23(m2-b2)②.

∵OP?OQ=-3,∴x1x2+y1y2=-3.而y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2.所以2x1x2+m(x1+x2)+m2=-3，即43(m2-b2)-43m2+m2=-3,所以有3m2-4b2=-9③，又R(0,m)，PR=3RQ,∴(-x1,m-y1)=3(x2,y2-m),從而-x1=3x2④.

由①，②，④得3m2=b2⑤，由③，⑤解得b2=3,m=±1適合(*).所以所求直線l的方程為y=x+1或y=x-1；橢圓C的方程為x²6+y23=1.

評注：例3主要是利用向量數量積的坐標表示，溝通向量與解析幾何的聯系，求解曲線的軌跡方程.這也是高考命題的重要題型.

我們再看二道例題.

例4 如圖，已知點F(1，0)，直線l:x=-1,P為平面上的動點，過P作l的垂線，垂足為點Q，且QP?QF=FP?FQ.

(Ⅰ)求動點P的軌跡C的方程；

(Ⅱ)過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點M.

(1)已知MA=λ1AF,MB=λ2BF擼求λ1+λ2的值；(2)求|MA遼?|MB遼的最小值.

解：(Ⅰ)設點P(x,y)，則Q(-1,y)，由QP?QF=FP?FQ叩(x+1,0)?(2,-y)=(x-1,y)?(-2,y)，化簡得C：y2=4x.

(Ⅱ)(1)設直線AB的方程為x=my+1(m≠0).設A(x1,y1),B(x2,y2),又M(-1,-2m)，聯立方程組y2=4x,

x=my+1,消去x得y2-4my-4=0,△=(-4m)2+16>0,y1+y2=4m,

y1y2=-4.由MA=λ1AF,MB=λ2BF叩脃1+2m=-λ1y1,y2+2m=-λ2y2，整理得λ1=-1-2my1,λ2=-1-2my2,∴λ1+λ2=-2-2m(1y1+1y 2)=-2-2m?y1+y2y1y2=0.

(2)|MA遼?|MB遼=(1+m2)2|y1-yM|?|y2-yM|=(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)+yM2|=(1+m2)|-4+2m×4m+4m2|=(1+m2)(4+4m2)=4(2+m2+1m2)≥4(2+2m2?1m2)=16.當且僅當m2=1m2，即m=±1時等號成立，所以|MA遼?|MB遼 的最小值為16.

例5 已知雙曲線C：x²a2-y2b2=1(a>0,b>0)，B是右頂點，F是右焦點，點A在x軸正半軸上，且滿足|OA遼、|OB遼、|OF遼成等比數列，過F作雙曲線C在第一象限的漸近線的垂線l，垂足為P.如圖所示.

(1)求證：PA?OP=PA?FP;(2)若l與雙曲線C的左、右兩支分別交于點D、E，求雙曲線C的離心率e的范圍.

解：(1)直線l的方程為y=-ab(x-c).由y=-ab(x-c),

y=abx.解得P(a2c,abc).

因為|OA遼、|OB遼、|OF遼成等比數列，所以A(a2c,0)，故PA⊥x軸，如右圖所示.從而PA?OP-PA?FP擢=PA?OF=0,∴PA?OP=PA?FP.

(2)由y=-ab(x-c),

b2x²-a2y2=a2b2.得b2x²-a4b2?(x-c)2=a2b2.即(b2-a4b2)x²+2a4b2cx-(a4c2b2+a2b2)=0,∵x1x2=-(a4c2b2+a2b2)b2-a4b2<0,∴b4>a4，即b2>a2,c2-a2>a2.所以e2>2，即e>2.

解析幾何是歷年數學高考舞臺上必唱“主角”之一，近年來它在高考卷中一直占有較重比重，命題人往往以解析幾何的傳統內容為載體，融合向量等其他相關知識點，設計出背景新穎、能力要求廣泛的綜合試題，借以考查學生的運算能力、邏輯推理能力以及分析問題和解決問題的能力，其中思維是支柱，運算是主體，應用是歸縮.通過以上例析，旨在深化對基礎知識、基本技能、基本方法的理解和掌握，提高解題的靈活性和綜合運用知識的能力，增強應試能力.由于平面向量與解析幾何的綜合問題背景新穎，內在聯系密切，思維方法靈活，展望新一年的各地數學高考，我們有理由大膽預測，平面向量與解析幾何的綜合問題必將再次 受到命題者的青睞.