化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的運用

季　進

對于如何解題，G?波利亞曾說過，解題的成功要靠正確的轉(zhuǎn)化.化歸思想是指在解決問題的過程中，將那些有待解決或難以解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或容易解決的問題來解決的一種數(shù)學(xué)思想方法.解決數(shù)學(xué)問題的過程是創(chuàng)造性的思維活動過程，其重要的特點是思維的變通性和流暢性.當我們接觸的問題難以入手時，思維就不應(yīng)停留在原問題上，而應(yīng)將原問題轉(zhuǎn)化為另一個比較熟悉、比較容易解決的問題，通過對新問題的解決，達到解決原問題的目的.本文運用化歸思想，例談解題中的轉(zhuǎn)化方法，希望能給備考中的廣大一線師生些許啟發(fā).

1.降格轉(zhuǎn)化

降格轉(zhuǎn)化是指當人們對復(fù)雜的事物或抽象的事物一時認識不清時，則暫時退到簡單的、但仍能保持事物特征的形態(tài)，以尋找事物的規(guī)律或關(guān)系的一種策略.

例1 解方程2x3+(4+3)x²-3=0.

思路分析：這是一個關(guān)于x的一元三次方程，若用因式分解、配方求根等常規(guī)方法都不易求得方程的解.觀察方程的系數(shù)和常數(shù)特點，可以看出3的平方是3，故不妨退一步考慮問題，把x看作“常數(shù)”，把3看作“變量”，從而得到解法.

解：將原方程變?yōu)?3)2-x²?(3)-(2x 3+4x²)=0，將此方程看作關(guān)于3的一元二次方程，則△=x4+4(2x3+4x²)=(x²+4x)2,∴3=x²±△2=x²±(x²+4x)2,

∴3=-2x或3=x²+2x，∴x1=-32,x2=1+3-1,x3=-(1+3+1).

抓住問題的本質(zhì)，以退為進，退到我們能看清問題的地方，認透了再上去，“退一步海闊天空”在此題的解法中體現(xiàn)得淋漓盡致!

2.升格轉(zhuǎn)化

升格轉(zhuǎn)化是指把維數(shù)較低或抽象水平較低或整體性較弱的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為維數(shù)較高或抽象水平較高或整體性較強的問題，通過對兩者的性質(zhì)及關(guān)系的考察，從而使原來的問題獲得解決.

例2 求玞os2A+玞os2(60°-A)+玞os2(60°+A)的值.

思路分析：采用降冪公式或兩角的和差公式展開，過程比較復(fù)雜.如果利用“對稱性”，構(gòu)造對偶式，則可得巧解.

解：設(shè)y=玞os2A+玞os2(60°-A)+玞os2(60°+A),x=玸in2A+玸in2(60°-A)+玸in2(60°+A)，則有x+y=3，又y-x=玞os2A+玞os2(60°-A)+玞os2(60°+A)=玞os2A+2玞os120°玞os2A=0,于是y=x=32，則玞os2A+玞os2(60°-A)+玞os2(60°+A)=32.

3.縮格轉(zhuǎn)化

縮格轉(zhuǎn)化是指在問題的條件系中尋找最小的獨立完全系，從而使問題只涉及最小獨立完全系的問題的策略.例如等差、等比數(shù)列的變量系中只含有三個獨立變量；有心圓錐曲線也只有三個獨立變量；對于幾何題也常用尋找最小獨立完全系的方法，使問題得到解決.

例3 已知圓滿足(1)截y軸所得弦長為2；(2)被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1.在滿足(1)、(2)的所有圓中，求圓心到直線l:x-2y=0距離最小的圓的方程.

析解：由已知可設(shè)所求的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，把問題轉(zhuǎn)化為a,b,r這三個變量的求解問題.

由條件可得r2=2b2,

r2=a2+1,又點(a,b)到直線x-2y=0的距離為d=|a-2b|5，所以，5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1，當且僅當a=b時取等號，即當a=b時d取最小值1.故得到a=b,

2b2-a2=1,此時把問題中的獨立變量變成了兩個.解得a=1,

b=1，或a=-1,

b=-1，可得r=2，于是所求的圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.

4.更格轉(zhuǎn)化

更格轉(zhuǎn)化是指保持數(shù)學(xué)問題的某些不變性質(zhì)，改變信息形態(tài)，借以解決問題的策略，這種策略就是數(shù)學(xué)上常用的化歸的思想方法.如換元，方程的同解變形；平移變換；坐標與向量間互化；參數(shù)法；數(shù)形結(jié)合等等.

例4 求函數(shù)y=x-x32(1+2x²+x4)的值域.

思路分析：本題的分式結(jié)構(gòu)與三次、四次方的同時出現(xiàn)，給學(xué)生的心理構(gòu)成了一定的障礙，多數(shù)同學(xué)一籌莫展，無從下手.用導(dǎo)數(shù)求最值的方法去求解，運算過程異常繁復(fù)；如能通過變形、聯(lián)想三角中的萬能公式，則眼前豁然開朗、一片光明!

解：原函數(shù)可化為y=14?1-x²1+x²?2x1+x²,設(shè)x=玹anα，則1-x²1+x²=玞os2α,2x1+x²=玸in2α,所以y=14玸in2α玞os2α=18玸in4α,根據(jù)正弦函數(shù)的有界性可知-18≤y≤18.

5.逆格轉(zhuǎn)化

逆格轉(zhuǎn)化就是對于一些數(shù)學(xué)問題，如果從正面思考難以奏效時，不妨嘗試從反面入手，巧用逆向思維解題的策略.比如借助反證法來找到解決問題的途徑.

例5 函數(shù)f(x)=x²+ax+b(a,b∈R),x∈［-1,1］，求證：|f(x)|的最大值M≥12.

證明：假設(shè)M<12，則|f(x)|<12恒成立，∴-122

評注：本題除取x=-12外，x還可取那些值呢?留給讀者思考，問題很有趣!證明過程簡潔，是因為靈活地選取特殊值，并對其進行了“意想不到”的分類討論!最后借助不等式的放縮法等最基本的技巧來完成解答，充分體現(xiàn)了解題機智.

例7 設(shè)a0為常數(shù)，且an=3n-1-2an-1(n∈N*).

(1)證明：對任意n∈N*，an=15［3n+(-1)n-1?2n］+(-1)n?2na0;

(2)假設(shè)對所有an>an-1，求a0的取值范圍.

思路分析：(1)如果設(shè)an=a?3n-2(an-1-a?3n-1),用an=3n-1-2an-1代入，可解出a=15.所以{an-3n5}是公比為-2，首項為a1-35的等比數(shù)列.an-3n5=(1-2a0-35)?(-2)n-1(n∈N*)，即an=3n+(-1)n-1?2n5+(-1)n?2n?a0.

(2)由an通項公式an-an-1=2?3n-1+(-1)n-13?2n-15+(-1)n?3?2n-1?a0.∴an>an-1(n∈N*)等價于

(-1)n-1(5a0-1)<(32)n-2(n∈N*) ①

(玦)當n=2k-1,k=1,2,…時，①式即為(-1)2k-2(5a0-1)<(32)2k-3，即為a0<15(32)2k-3+15 ②

②式對k=1,2,…都成立，有a0<15?(32)-1+15=13.

(玦i)當n=2k,k=1,2,…時，①式即為

(-1)2k-1(5a0-1)<(32)2k-2.即為a0>-15?(32)2k-2+15 ③.③式對k=1,2,…都成立，有a0>-15?(32)2×1-2+15=0.

綜上，①式對任意n∈N*成立，有0

評注：參數(shù)分離法是解決“恒成立問題”中參數(shù)取值范圍的常用方法，這里因為a0的系數(shù)為(-1)n，故對n進行了“情理之中”的分類討論，使問題化整為零，各個擊破，凸顯了分格策略的神奇功效.

綜上的六種轉(zhuǎn)化思維策略，以其適用的廣泛性而區(qū)別于解題的具體思路和方法，六種轉(zhuǎn)化策略注重聯(lián)想、類比、反思，并藉此提高解題的靈活性和準確性，培養(yǎng)思維的廣闊性和深刻性.盡管高考題的命題方向是“出新題，考能力”，而且解高考題的思維策略也是因題而異，但是思維策略的指向性是一致的，就是抓住問題的本質(zhì)，掙脫知識框架的束縛，構(gòu)筑起解題的新平臺，盡可能把新問題轉(zhuǎn)化為某一個已經(jīng)解決或較易解決的問題，并最終實現(xiàn)問題的解決.