習題講解時的“四宜四不宜”

孫四周

習題講解在什么時候講?講到什么程度?又如何去講?講過以后又如何安排好學生的學習活動，讓他們及時鞏固習題講解的效果呢?等等.這些細節都將直接影響到解題教學的成敗，所以值得我們密切關注.在實際教學中，筆者總結出解題的“四宜四不宜”，羅列如下，供同行 們參考.

1.思路點撥：宜拖后不宜提前

解題，首先遇到的就是思維起點的選取和解題途徑的設計，這是解題最重要也是最困難的地方，同時也是最能考驗學生能力的地方.解題遇阻主要的就是受阻于此.相應地，講解也多由此處切入，因為思路的點撥是效率最高的講解形式.那么，在何時、以何種形式進行思路點撥呢?我們認為：思路點撥宜拖后不宜提前.

例1 求函數y=玸in(x+π3)玸in玿的最大和最小值.

分析：在目前的課程標準下研究三角函數的性質，思路只有一個，那就是化成只含有一個三角函數的最基本形式，即化為y=A玸in(ωx+φ)+b的形式.為此，可作如下的變形：y=玸in(x+π3)玸in玿=(12玸in玿+32玞os玿)玸in玿后，再使用二倍角公式和降冪公式，即可化為y=12玸in(2x-π6)+14，最大值和最小值都是顯而易見的.

問題是，老師應當在何時用何種方式對學生進行思路提示呢?我們認為，正確的做法是：先讓學生有足夠的時間自主思考，如果能思考出來當然很好.否則，也應當讓他們有切身的經歷，而在他們欲進不能、欲罷不忍的“苦悶”時刻給予恰當的援助，使他們在豁然開朗之余感受“醍醐貫頂”的震撼.孔子云“不憤不啟，不悱不發”，蓋此之謂也.即思路點撥，宜拖后不宜提前.

雖然，相對于其它的課型，習題課(或習題講解的時段)比較容易突出學生的主體地位，學生的思維也較為活躍，但這時老師更要注意引導的時機和技巧.有的老師對學生不放心，喜歡在題目剛出來時就先進行提示或分析，那樣做，看起來課堂的效率高了，講的題目多了，但實際上是扼殺了學生的自主思維能力，剝奪了學生自由創造空間.在學生還沒有來得及思考的時候，老師硬是用固定的思路框定他們的頭腦，使他們服從于已有的模式，這對他們思維能力的形成是個不小的打擊.毫地疑問地，老師所提示的思路可能是最佳的，老師所提供的思考模式也可能是非常有價值的.但是，這多少帶有強加的意味.雖然好像是節省了時間，但實際是把本該屬于學生主動思考的時間變成了老師灌輸的時間，把本該由學生主動建構的過程變成了被動接受的過程.如果采用當堂檢測的方法進行目標達成測試，也完全可能得到較好的卷面成績(特別是中下等成績的同學合格率還可能很高)，但筆者仍然認為這種做法是應該堅決予以拋棄的.

2.類比聯想：宜引導不宜包辦

偉大的數學教育家波利亞在他著名的“怎樣解題表”中給出這樣的思維提示：你見過類似的題目嗎?回想你曾解過的、類似的而又較為簡單的問題.

這就是讓學生在解題時要善于聯想，聯想的目的大致有二：其一，尋找可以適用的解題模式，在此模式下按部就班地進行操作；其二，借用以前的解題經驗，為新題的解決提供借鑒.不論哪個目的能夠達到，則解題即可順利進行.遺憾的是，學生很容易正是在聯想時受阻，這時候，老師該采取什么措施呢?筆者的意見是：我們絕不可以把可用的模式一股腦兒地告訴給學生，也不可以把一個幾乎相同的問題端出來給學生看.因為老師這樣包辦代替以后，學生所需要做的工作就太有限了.

例2 已知a,b∈R+，且ab+a+b=24，求a+b的取值范圍.

甲老師的講解是這樣的：

師：a+b中a和b都在變化.那么，對于二元變量的最值問題，你能處理嗎?(停頓)

學生甲：二元變量不好處理，所以應該消元，變成一元變量問題.

師：能說具體一點嗎?

學生甲：就是把條件中的b解出來，得b=24-aa+1，再代入a+b中，就變成關于a的一個函數a+b=a+24-aa+1=(a+1)+25a+1-2，聯想到可以用不等式法求它的值域，此問題已經可以解決了.

老師順手就在黑板上寫下了學生們不斷“冒”出來的想法.(后來標為“解法一”).

師(面向全體)：大家做的很好，它所體現的是什么數學思想?

學生齊答：化歸思想!

師：對，這就是化歸思想的應用.還有其它的想法嗎?

學生乙：可以不消元，就保留兩個變量，用二元均值不等式來做，即：∵a,b∈R+，∴ab≤(a+b2)2，代入ab+a+b=24，得(a+b2)2+(a+b)≥24，令t=a+b,得t2+4t≥96，從而t≤-12或t≥8，又顯然0

老師又寫出了新的解法，(后來標為“解法二”).

應當說學生的回答相當精彩，老師的點撥確是順勢而為，恰到好處.相應地，另一位老師作了如下的處理：

(寫完題目后，讓學生思考了一下，沒什么反應，于是——)

師：這是兩個變量的問題，我們所熟悉的是函數類型的問題，而函數類型只能一個自變量，現在有兩個變量，怎么辦呢?

學生(齊答)：消去一個!

師：對，消去一個后，就變成一個變量了，一個變量就是函數類型，我們當然能夠處理，我們一起試試看.

然后，老師和學生一起，共同完成了問題的解答，課堂氣氛也很熱烈，學生思維也很活躍.

師：上面，我們把二元問題轉化為一元問題，利用函數的方法解決了本來比較難的問題，是不是一定要這樣做呢?就保留二個變量可不可以呢?你說說看，可以還是不可以(提問學生丙).

學生丙：我看應當可以.

師：怎樣可以?

學生丙：好像——，好像要把ab換成a+b.

師：太好了，確實應該把ab化成a+b.怎么化呢?(見學生丙沒有反應，示意其坐下，自己就接著講).我們學過二元均值不等式，讓我們來回想一下——

下面又是一起回想，一起“探討”，解題在老師的設問和學生的回答中進行著——

與前一位老師相比，這位老師也是想通過啟發誘導讓學生積極思考，從而達到自主解題的目的.從表面上看，課堂氣氛也確實不錯.但是，老師的指點太全面而且超前，學生的思維深度遠遠不夠.可以說，盡管這個題目順利解決了，這樣的解題指導卻是失敗的.

3.解答書寫：宜規范不宜隨意

許多老師習慣于“只提思路，不寫解法”，因為這樣可以節省時間.應當說這是允許的，但是必須有一個前提，那就是學生對這個(類)問題的解答已經能夠熟練而完備地書寫出來.如果是講授新課，還是應該把解答完整地寫出來，而且要寫得規范.我就曾見識過一位特級教師，他在講函數單調性的那節新課上，寫出了用定義證明函數y=3x+1在R上為增函數的完整證明.那已經是十幾年前的事了，提起這件事，當時參與聽課的老師仍然印象清晰、態度肅然.

對例題的解答給出規范而嚴謹的書寫，最起碼有下面的幾點好處：

一是在書寫時給學生切身的示范，作為他們解題時的樣本，并培養他們一絲不茍的學風；

二是通過書寫，以較慢的速度重現思維的全過程，加強思維嚴謹性的要求；

三是在學生聽的同時還要看和抄，調動他們的耳、目、腦、手等多種感官，提高感知和記憶的效率；

四是學生的規范化解答是形成解題模式的前提，而解題模式的形成對解題能力的提高是至關重要的.

當然并不是說每次的例題都要按規范化的要求書寫，比如在復習課上就不可能也不必要這樣做.但是，即使這樣，書寫也要避免隨意性.比如復習課或者試卷講評的例題，可能只寫其中的關鍵步驟.對于這個關鍵步驟，就應該很規范地寫出來，并盡可能使它完整.因為，既然你認為這個步驟需要板書，就正說明學生在這個步驟上存在缺陷，那么對這個步驟的板書做規范化的呈現也就是必要的了.

綜上所述，書寫全部解答，就應該保證全部的規范化；書寫局部解答，就應該保證局部的規范化.要盡量避免簡單隨意的書寫，就是版面布置也要追求整齊美觀、突出重點，這應當是一個數學教師的基本功夫.

4.解后反思：宜強調通法不宜渲染技巧

解題后的反思是解題教學的重要環節，對教師而言是點睛之筆，對學生而言是從感性到理性的必由之路.所以從教與學雙方來說，解后反思的環節都是需要特別給予關注的.

那么，反思應該反思什么呢?什么樣的反思才算是較為成功的反思呢?

就筆者的思考來說，反思大致可分為下面三個不同的層次：

第一，從同水平上說， 應總結解題成功的經驗和失敗的教訓，形成較強的解題技能；

第二，從高一層次來說，應注重總結一般性的方法，形成解決同類問題的遷移能力；

第三，從更高層面來說，應上升到方法論的高度，并對以后的解題行為形成有指導價值的理論.

這當然是比較粗淺的分析，一個教師或學生解后反思水平的高低，依賴于他元認知水平的高低，依賴于解題經驗的多寡和概括抽象能力的強弱.是學生學習能力強弱的直接體現，還將決定他們學業水平提高幅度的大小.

所以，解后反思應著眼于一般性方法的總結與歸納，要跳出就題論題的小圈子，站得高一點，看得遠一點.特別不能糾纏于某種特別的技巧，即使這個技巧精妙絕倫，也只是一個技巧而已，在此時此地它很有效，換個環境就可能無法施展.所以，越是精巧而又特效的解法，越不應當反復強調.不論它多么的令人難舍，過分地強調它就難脫就題論題之詬.

當然，反思不但包括總結與概括，更重要的是通過反思，來提升學生認識的檔次、加深學生對問題的認識和理解，最終使分析問題和解決問題的能力得到提高.所以，對于一些重點或難點問題的反思，不能停留在理論上的總結，最好能及時地用相關問題給以強化和鞏固.常見的方法就是根據對方法的總結，布置幾道相應的練習題，可以是原例題的仿照練習，也可以是變式聯系，由問題的難度來決定.比如上面的那個例1，留足學生的反思時間以后，老師的反思與總結包含了下面的內容：

一是給出解這種題目的一般思路，即“化成只含有一個三角函數的最基本形式，求最大最小值是這樣，求周期、求增區間和減區間也是這樣”.

二是給出了幾個同式或變式的練習.比如

(1)求y=玸in(x-π3)+玸in玿的最大最小值.

(2)求y=玸in4x-玞os4x的周期和值域.

(3)求y=玞os(2x-π3)玞os2x的周期和單調區間.

(4)若函數y=3玸inωx+3玞osωx(ω>0) 的周期是3π，則ω=，該函數的值域是，增區間是.

有了這樣的總結和追加的這幾個練習，例1的教學價值得到了開發和落實，學生所學到的決不僅僅是這一個例題，而是這一類問題的普遍解法.甚至不止于此!他們學到了數學的思想，學會了怎樣學習——學習能力的培養才是“終身學習”所必須的.所以，這樣的反思與總結，有高度、有落實，可以認為是成功的.

總之，習題講解是靈活性很大、發揮余地很充足的教學活動，老師應當眼中有學生，而不能是眼中只有題目.應當以學生的現實為出發點，以學生的發展為目的，通過數學思想的揭示、數學方法的鞏固、數學能力的提高，使學生學會分析、學會學習.