由０８年高考安徽卷中的一道題引起的探究

王　峰

2008年高考安徽卷中有這樣的一道選擇題：設(1+x)8=a0+a1x+…+a8x8，則a0,a1,…,a8中奇數的個數為 .

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5.

由于a0,a1,…,a8都是二項式系數，故考生大都是將它們翻譯成數學式子后通過計算而獲解的，當然若利用組合數性質Cmn=Cn-m猲(m、n∈N+，且m≤n)去處理，則會更快一些.筆者認為本題難度不大，但是它容易使我們產生疑問：二項式展開式的二項式系數的奇偶個數有沒有規律性?若有其規律是什么 ?帶著這兩個問題，筆者作了一番探究，發現有如下幾個正確的結論：

結論1 若n=2k-1(k∈N+)，則(a+b)n展開式的二項式系數皆為奇數，即Cr2k-1(0≤r≤2r-1)為奇數.

下面用數學歸納法證明此結論：

(1)當r=0時，結論顯然成立.

(2)假設當r=t(0≤t<2k-1)時，結論成立，即Ct2k-1為奇數，則當r=t+1時，Ct+12k-1=(2k-1)!(t+1)!(2k-t-2)!=2k-t-1t+1?

(2k-1)!t!(2k-t-1)!=(2kt+1-1)Ct2k-1.

因為組合數Ct+12k-1、Ct2k-1為整數，所以2kt+1-1必為整數，又2k為偶數，則t+1必為偶數，故可設t+1=2u?k0(k0為奇數)，所以Ct+12k-1=(2k2u?k0-1)，Ct+12k-1=(2k-uk0-1)Ct2k-1.由2k-u為偶數，2k-u猭0為整數以及k0為奇數，故知2k-u猭0必含因數2，即2k-u猭0必為偶數，從而知2k-u猭0-1為奇數，又由歸納假設Ct2k-1為奇數，所以Ct+12k-1為奇數，即當r=t+1時，結論成立.綜合(1)(2)知，Cr2k-1(0≤r≤2r-1)為奇數成立.

結論2 若n=2k(k∈N+)，則(a+b)n展開式的二項式系數中除了C0n和Cnn兩個數外，其余各數皆為偶數，即Ct2k(1≤r≤2k-1)為偶數.

由結論1知Cr2k-1及Cr-12k-1均為奇數，所以Cr2k=Cr2k-1+Cr-12k-1為偶數.

注：當k=3時，即為08年安徽高考題，由結論2易知選A.

結論3 若n=2k-2(k≥2,k∈N)，則(a+b)n展開式的二項式系數的奇偶數相互交錯出現，易知奇數個數為2k-1，偶數個數為2k-1-1.

因為Cr2k-1=Cr2k-2+Cr-12k-2，又由上述結論2知Cr2k-1為奇數，所以Cr2k-2和Cr-12k-2中一奇一偶，從而說明(a+b)2k-2展開式的二項式系數的奇偶數是交錯出現的.

結論4 若n=2k-3(k≥3,k∈N)，則(a+b)n展開式的二項式系數按奇、奇與偶、偶的規律交錯出現，其中奇數個數為2k-1，偶數個數為2k-1-2.

因Cr2k-1=Cr2k-2+Cr-12k-2=(Cr2k-3+Cr-12k-3)+(Cr-12k-3+Cr-22k-3)=Cr2k-3+2Cr-12k-3+Cr-22k-3，及由結論2知Cr2k-1為奇數，故Cr2k-3和Cr-22k-3必為一奇一偶，又C02k-3，C12k-3都為奇數，因此知結論4成立.

值得注意的是07年高考湖南卷理第15題同本文開頭提供的真是如出一轍，若利用上述結論，此道考題就變得如此簡單，讀者不妨一試.