兩個基本不等式加強猜想的否定與修正

楊志明

宋慶先生等在文［1］得到了基本不等式如下的加強：

定理1 若a,b,c是正數，則ab+12|a-b|≥a+b2≥a2+b22-2-12|a-b| (1)

3abc+13(|a-b|+|b-c|+|c-a|)≥a+b+c3≥a2+b2+c23-3-16(|a-b|+|b-c|+|c-a|) (2)

進而提出如下猜測：

若a,b,c是正數，則ab≥a2+b22-2-12|a-b| (3)

3abc≥a2+b2+c23- 3-16(|a-b|+|b-c|+|c-a|) (4)

經探討發現，(3)、(4)式均不成立.例如取a=1,b=14，(3)式的左邊-右邊=1×14-12+(14)22+2-12|1-14|=12-348+3(2-1)8=32+1-348<3×1.5+1-5.88<0.故(3)式不成立.

例如取a=1,b=8,c=27，(4)式的左邊-右邊=31×8×27-11+82+2723+3-16?(|1-8|+|8-27|+|27-1|)=6-23823+26(3-1)3=-8+2382-2633<-8+48-463<0.故(4)式不成立.

經探討發現，(3)、(4)式可修正為

定理2 若a,b,c是正數，則

ab≥a2+b22-22|a-b| (5)

3abc≥a2+b2+c23-66(|a-b|+|b-c|+|c-a|) (6)

證明：先證明不等式(5).令a=x,b=y,則(5)式等價于2xy+|x²-y2|≥x4+y4(7),不妨設x≥y，則(7)式等價于2xy+x²-y2≥x4+y4(8)(2xy+x²-y2)2≥x4+y422xy(x²-y2)≥0.顯然成立.

再證明不等式(6).令3a=x,3b=y,3c=z,則(6)式等價于xyz+66(|x3-y3|+|y3-z3|+|z3-x3|)≥x6+y6+z63 (9)

不妨設x≥y≥z，則(9)式等價于xyz+66(x3-y3+y3-z3+x3-z3)≥x6+y6+z63 (10)趚yz+63(x3-z3)≥x6+y6+z633xyz+2(x3-z3)≥x6+y6+z63x²y2z2+2(x3-z3)2+26?xyz(x3-z3)≥x6+y6+z63x²y2z2+x6-y6+z6-4x3z3+26xyz(x3-z3)≥0(3xyz-z3)2+x6-y6+(23-4)xyz4+4x3(xyz-z3)+(26-4)xyz(x3-z3)≥0.

注意到x≥y≥z，即知上式成立.

注：(7)式可由(1)式推出，這里給出了(7)式一種直接證明；而(8)式則不能由(2)式推出.事實上，(8)式比由(2)式推出的結果：

3abc≥a2+b2+c23-3+16(|a-b|+|b-c|+|c-a|)(11)強一些.

參考文獻

［1］宋慶.兩個優雅的雙邊不等式.中學數學研究(江西師大)，2008(1).