一類三元分式不等式及其證明

宋　慶

本文旨在介紹幾個新穎有趣的三元分式不等式，并給出它們的巧妙證明.

例1 已知a,b,c為滿足abc=1的正數，求證：12+a+12+b+12+c≤1.

證明：因bc+ca+ab≥33abc=3，

故1-(12+a+12+b+12+c)

=1-bc+ca+ab+4(a+b+c)+12(2+a)(2+b)(2+c)

=bc+ca+ab-3(2+a)(2+b)(2+c)≥0,從而，原不等式成立.

注1：比較法是不等式證明中的一種常用方法，輔以均值不等式進行放縮是其重要手段.

例2 已知a,b,c為滿足abc=1的正數，求證：1(1+a)2+1(1+b)2+1(1+c)2≥34.

證明：因(a+b)(1+ab)=b(1+a)2+a(1-b)2≥b(1+a)2，

故1(1+a)2≥b(a+b)(1+ab).

同理1(1+b)2≥a(a+b)(1+ab).以上兩式相加，便得1(1+a)2+1(1+b)2≥11+ab.

因此，要證原不等式，只要證11+ab+1(1+c)2≥34赾1+c+1(1+c)2≥344c(1+c)+4≥3(1+c)2(c-1)2≥0.

綜上，原不等式成立.

注2：選擇合適的放縮技巧，是不等式證明的關鍵.

例3 已知a,b,c為滿足abc=1的正數，求證：11+b+c+11+c+a+11+a+b≤1.

證明：因b+c-3bc(3b+3 c)=(3b+3c)(3b-3c)2≥0，故b+c≥3bc(3b+3c).于是，可得11+b+c≤13bc(3a+3b+ 3c)=3a3a+3b+3c.同理11+c+a≤3b3a+3b+3c，11+a+b≤3c3a+3b+3c.以上三式相加，便得原不等式.

注3：解題兵法之一：靈活機動，各個擊破.

例4 已知a,b,c為滿足abc=1的正數，求證：a2+a2+b2+b2+c2+c2≤1.

證明：a2+a2≤a1+2a,b2+b2≤b1+2b,c2+c2≤c1+2c,此三式相加，整理可得a1+a2+b2+b2+c2+c2≤32-12(11+2a+11+2b+11+2c).因此，要證原不等式，只要證11+2a+11+2b+11+2c≥1.

令a=xy,b=yz,c=zx(x,y,z為正數)，則由柯西不等式可得

11+2a+11+2b+11+2c=y2y(y+2x)+z2z(z+2y)+x²x(x+2z)

≥(x+y+z)2y(y+2x)+z(z+2y)+x(x+2z)=1.

綜上，原不等式成立.

注4：化繁為簡是解題的一個方向；換元是轉化的一個手段.

例5 已知a,b,c為滿足abc=1的正數，求證：11+a+a2+11+b+b2+11+c+c2≥1.

證明：令a=yzx²,b=zxy2,c=xyz2(x,y,z為正數)，則原不等式等價于x4x4+x²yz+y2z2+y4y4+y2zx+z2x²+z4z4+z2xy+x²y2≥1.

由簡單不等式y2z2+z2x²+x²y2≥x²yz+y2zx+z2xy及柯西不等式可得(x²+y2+z2)2(x4x4+x²yz+y2z2+y4y4+y2zx+z2x²+z4z4+z2xy+x²y2)≥［(x4+x²yz+y2z2)+(y4+y2zx+z2x²)+(z4+z2xy+x²y2)］?(x4x4+x²yz+y2z2+y4y4+y2zx+z2x²+z4z4+z2xy+x²y2)≥(x²+y2+z2)2.

綜上，原不等式成立.

注5：沒有“做不到”，只有“想不到”.

例6 已知a,b,c為滿足abc=1的正數，求證：(b+c)(c+a)(a+b)a+b+c-1≥4.

證明：不妨設a≥1.原不等式等價于a2(b+c)+a(b2+c2)+bc(b+c)+6-4(a+b+c)≥0赼2(b2+c2)+(bc-3)(b+c)+3+［a2(b2+c2)-1］+［(a2-1)(b+c)-4(a-1)］≥0赼2(b+c)2+(1a-3)(b+c)+2+12(bc+cb-2)+(a-1)(b+1b+c+1c-4)≥0.

因此，要證原不等式，只要證a2(b+c)2+(1a-3)(b+c)+2≥0，即只要證(1a-3)2-4?a2?2≤04a3-(3a-1)2≥0，4a3-(3a-1)2=4a3-［3(a-1)+2］2=4(a3-1)-9(a-1)2-12(a-1)=(a-1)［4(a2+a+1)-9(a-1)-12］=(a-1)(4a2-5a+1)=(a-1)2(4a-1)≥0.綜上，原不等式成立.

注6：本例的證題思路在變形、轉化過程中逐漸凸現.

不等式的證明沒有固定程式，證法因題而異，靈活多變，除了掌握一些常用的基本方法外，代數變形能力和運算能力是成功證明不等式的關鍵.